Tính tổng T. Câu 25. Cho hình chóp S.ABC. Bên trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các,đường thẳng lần lượt song song với SA,SB,SC và cắt các mặt phẳng $(SBC),(SCA),(SAB)$ theo thứ tự,tại A',B',C''. Kii đó tổng tỉ số $T=\frac{OA^\prime}{SA}+\frac{OB^\prime}{SB}+\frac{OC^\prime}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Question

Tính tổng T. Câu 25. Cho hình chóp S.ABC. Bên trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các,đường thẳng lần lượt song song với SA,SB,SC và cắt các mặt phẳng $(SBC),(SCA),(SAB)$ theo thứ tự,tại A&#x27;,B&#x27;,C&#x27;&#x27;. Kii đó tổng tỉ số $T=\frac{OA^\prime}{SA}+\frac{OB^\prime}{SB}+\frac{OC^\prime}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Câu 25:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và tỉ số đoạn thẳng.

Cho hình chóp $ S.ABC $ và điểm $ O $ nằm trong tam giác $ ABC $. Từ $ O $, ta dựng các đường thẳng song song với $ SA, SB, SC $ và cắt các mặt phẳng $ (SBC), (SCA), (SAB) $ lần lượt tại $ A', B', C' $.

Theo định lý Menelaus trong không gian, nếu một đường thẳng cắt ba cạnh của một tam giác thì tổng tỉ số của các đoạn thẳng trên các cạnh đó bằng 1. Cụ thể, trong tam giác $ \triangle SBC $, đường thẳng qua $ O $ song song với $ SA $ cắt $ SB $ tại $ B' $ và $ SC $ tại $ C' $. Tương tự, trong tam giác $ \triangle SCA $, đường thẳng qua $ O $ song song với $ SB $ cắt $ SC $ tại $ C' $ và $ SA $ tại $ A' $. Cuối cùng, trong tam giác $ \triangle SAB $, đường thẳng qua $ O $ song song với $ SC $ cắt $ SA $ tại $ A' $ và $ SB $ tại $ B' $.

Do đó, theo định lý Menelaus, ta có:
$$
\frac{OA'}{SA} + \frac{OB'}{SB} + \frac{OC'}{SC} = 1
$$

Vậy tổng tỉ số $ T = \frac{OA'}{SA} + \frac{OB'}{SB} + \frac{OC'}{SC} $ bằng 1.