giải chi tiết

Câu 1: Giả sử trên một đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá. Khi đó, tổng khối lượng của các con cá sẽ là: \[T(n) = n \cdot P(n) = n(480 - 20n) = 480n - 20n^2.\] Để tìm giá trị của n sao cho T(n) đạt giá trị lớn nhất, ta xét đạo hàm của T(n): \[T'(n) = 480 - 40n.\] Đặt \(T'(n) = 0\): \[480 - 40n = 0 \implies n = 12.\] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định đây là điểm cực đại: \[T''(n) = -40 < 0,\] suy ra T(n) đạt giá trị lớn nhất tại \(n = 12\). Vậy, để khi thu hoạch được tổng khối lượng lớn nhất, cần thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ. Câu 2: Để tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( T(t) = -0,008t^3 - 0,16t + 28 \) trên khoảng \( t \in [1; 10] \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( T(t) \): \[ T'(t) = \frac{d}{dt}(-0,008t^3 - 0,16t + 28) \] \[ T'(t) = -0,024t^2 - 0,16 \] Bước 2: Giải phương trình \( T'(t) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -0,024t^2 - 0,16 = 0 \] \[ -0,024t^2 = 0,16 \] \[ t^2 = \frac{0,16}{0,024} \] \[ t^2 = \frac{16}{2,4} \] \[ t^2 = \frac{160}{24} \] \[ t^2 = \frac{20}{3} \] \[ t = \sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2,58 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( T(t) \) tại các điểm tới hạn và tại các biên của khoảng \( [1; 10] \): - Tại \( t = 1 \): \[ T(1) = -0,008(1)^3 - 0,16(1) + 28 \] \[ T(1) = -0,008 - 0,16 + 28 \] \[ T(1) = 27,832 \] - Tại \( t = 10 \): \[ T(10) = -0,008(10)^3 - 0,16(10) + 28 \] \[ T(10) = -0,008(1000) - 0,16(10) + 28 \] \[ T(10) = -8 - 1,6 + 28 \] \[ T(10) = 18,4 \] - Tại \( t \approx 2,58 \): \[ T(2,58) = -0,008(2,58)^3 - 0,16(2,58) + 28 \] \[ T(2,58) \approx -0,008(17,17) - 0,16(2,58) + 28 \] \[ T(2,58) \approx -0,137 - 0,413 + 28 \] \[ T(2,58) \approx 27,45 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính: - \( T(1) = 27,832 \) - \( T(10) = 18,4 \) - \( T(2,58) \approx 27,45 \) Như vậy, nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động là 18,4°C, đạt được khi \( t = 10 \). Câu 3: Để tìm liều lượng thuốc \( x \) (mg) sao cho độ giảm huyết áp \( G(x) \) đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tối ưu hóa: \[ G(x) = 0,25x^2(30 - x) \] Bước 2: Tìm đạo hàm của \( G(x) \): \[ G'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 0,25x^2(30 - x) \right] \] \[ G'(x) = 0,25 \cdot \frac{d}{dx} \left[ x^2(30 - x) \right] \] \[ G'(x) = 0,25 \left[ 2x(30 - x) + x^2(-1) \right] \] \[ G'(x) = 0,25 \left[ 60x - 2x^2 - x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,25 \left[ 60x - 3x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,25 \cdot 3x(20 - x) \] \[ G'(x) = 0,75x(20 - x) \] Bước 3: Giải phương trình \( G'(x) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 0,75x(20 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 20 - x = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 20 \] Bước 4: Kiểm tra các điểm dừng và giới hạn của miền xác định để tìm giá trị lớn nhất: - Tại \( x = 0 \): \[ G(0) = 0,25 \cdot 0^2 \cdot (30 - 0) = 0 \] - Tại \( x = 20 \): \[ G(20) = 0,25 \cdot 20^2 \cdot (30 - 20) \] \[ G(20) = 0,25 \cdot 400 \cdot 10 \] \[ G(20) = 0,25 \cdot 4000 \] \[ G(20) = 1000 \] Bước 5: Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( G(x) \) là 1000, đạt được khi \( x = 20 \). Do đó, để huyết áp giảm nhiều nhất, cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng 20 mg. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{ax^2 - bx}{x-1} \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0, do đó \( x \neq 1 \). Bước 2: Sử dụng thông tin điểm thuộc đồ thị Đồ thị (C) đi qua điểm \( A(-1; \frac{5}{2}) \), nghĩa là khi \( x = -1 \), \( y = \frac{5}{2} \). Thay vào hàm số, ta có: \[ \frac{a(-1)^2 - b(-1)}{-1 - 1} = \frac{5}{2} \] \[ \frac{a + b}{-2} = \frac{5}{2} \] \[ a + b = -5 \] Bước 3: Sử dụng thông tin về tiếp tuyến tại điểm \( O(0;0) \) Điểm \( O(0;0) \) thuộc đồ thị, nên khi \( x = 0 \), \( y = 0 \). Thay vào hàm số, ta có: \[ \frac{a(0)^2 - b(0)}{0 - 1} = 0 \] Điều này luôn đúng, không cho thêm thông tin mới. Tiếp tuyến tại \( O(0;0) \) có hệ số góc bằng -3. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( x = 0 \) là giá trị của đạo hàm tại \( x = 0 \). Tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{ax^2 - bx}{x-1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2ax - b)(x-1) - (ax^2 - bx)(1)}{(x-1)^2} \] \[ = \frac{2ax^2 - 2ax - bx + b - ax^2 + bx}{(x-1)^2} \] \[ = \frac{ax^2 - 2ax + b}{(x-1)^2} \] Tính \( y'(0) \): \[ y'(0) = \frac{a(0)^2 - 2a(0) + b}{(0-1)^2} = b \] Theo đề bài, hệ số góc của tiếp tuyến tại \( O(0;0) \) là -3, do đó: \[ b = -3 \] Bước 4: Tìm \( a \) và tính \( a + b \) Từ phương trình \( a + b = -5 \) và \( b = -3 \), ta có: \[ a - 3 = -5 \] \[ a = -2 \] Vậy \( a + b = -2 + (-3) = -5 \). Kết luận: Giá trị của \( a + b \) là \(-5\). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm các điểm \( M(x, y) \) thuộc đồ thị hàm số \( (C): y = \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} \) sao cho khoảng cách từ \( M \) đến trục \( Ox \) bằng hai lần khoảng cách từ \( M \) đến trục \( Oy \). Bước 1: Điều kiện xác định Hàm số \( y = \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x + 3 \neq 0 \). Do đó, điều kiện xác định là \( x \neq -3 \). Bước 2: Thiết lập phương trình khoảng cách Khoảng cách từ điểm \( M(x, y) \) đến trục \( Ox \) là \( |y| \). Khoảng cách từ điểm \( M(x, y) \) đến trục \( Oy \) là \( |x| \). Theo đề bài, ta có phương trình: \[ |y| = 2|x| \] Bước 3: Thay \( y \) từ hàm số vào phương trình Thay \( y = \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} \) vào phương trình khoảng cách, ta có: \[ \left|\frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3}\right| = 2|x| \] Bước 4: Giải phương trình Xét hai trường hợp: 1. \( \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} = 2x \) Giải phương trình: \[ x^2 + 5x + 15 = 2x(x + 3) \] \[ x^2 + 5x + 15 = 2x^2 + 6x \] \[ 0 = 2x^2 + 6x - x^2 - 5x - 15 \] \[ 0 = x^2 + x - 15 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 1 + 60 = 61 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2} \] 2. \( \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} = -2x \) Giải phương trình: \[ x^2 + 5x + 15 = -2x(x + 3) \] \[ x^2 + 5x + 15 = -2x^2 - 6x \] \[ 0 = -2x^2 - 6x - x^2 - 5x - 15 \] \[ 0 = -3x^2 - 11x - 15 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = (-11)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15) = 121 - 180 = -59 \] Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta < 0\). Bước 5: Tính tổng hoành độ Tổng hoành độ của các điểm \( M \) tìm được là: \[ x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} + \frac{-1 - \sqrt{61}}{2} = -1 \] Vậy, tổng hoành độ của các điểm \( M \) là \(-1\). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các thông tin đã cho về đồ thị hàm số và các điều kiện tiếp xúc. 1. Điều kiện cắt trục tung: Đồ thị hàm số $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Điều này có nghĩa là khi $x = 0$, ta có $f(0) = c = 2$. 2. Điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng $y = 1$ tại điểm có hoành độ là $x = -1$. Điều này có nghĩa là: - $f(-1) = 1$ (điều kiện tiếp xúc về giá trị). - $f'(-1) = 0$ (điều kiện tiếp xúc về đạo hàm). 3. Tính toán từ điều kiện tiếp xúc: - Tính $f(-1)$: \[ f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c = 1 \] Thay $c = 2$ vào, ta có: \[ -1 + a - b + 2 = 1 \implies a - b + 1 = 1 \implies a - b = 0 \implies a = b \] - Tính $f'(-1)$: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \] \[ f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = 0 \] Thay $a = b$ vào, ta có: \[ 3 - 2a + a = 0 \implies 3 - a = 0 \implies a = 3 \] Do $a = b$, nên $b = 3$. 4. Tính tổng $a + b + c$: Với $a = 3$, $b = 3$, $c = 2$, ta có: \[ a + b + c = 3 + 3 + 2 = 8 \] Vậy tổng $a + b + c$ là 8.