cho tôi đáp án câu 4

Câu 4: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tìm \(\tan \angle ACD\) và độ dài đoạn \(AD\) 1. Tính \(\tan \angle ACD\): Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \[ \tan \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] Do \(\angle BCD = 30^\circ\), ta có: \[ \angle ACD = \angle ABC - \angle BCD = \angle ABC - 30^\circ \] Sử dụng công thức: \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \] Với \(\alpha = \angle ABC\) và \(\beta = 30^\circ\), ta có: \[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \tan \angle ACD = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Tính toán: \[ \tan \angle ACD = \frac{\frac{4\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3}}}{1 + \frac{4}{3\sqrt{3}}} \] \[ = \frac{4\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3} + 4} \] 2. Tính độ dài \(AD\): Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông: \[ AD = AB + BD \] Với \(BD = BC \cdot \tan \angle BCD\), ta có: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \] \[ BD = 10 \cdot \tan 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \] \[ AD = 6 + 5.77 = 11.77 \] b) Tính \(\tan \angle ABE\) và độ dài cạnh \(AE\) 1. Tính \(\tan \angle ABE\): Do \(\angle CBE = 30^\circ\), ta có: \[ \angle ABE = \angle ABC - \angle CBE = \angle ABC - 30^\circ \] Sử dụng công thức: \[ \tan \angle ABE = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Tính toán: \[ \tan \angle ABE = \frac{4\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3} + 4} \] 2. Tính độ dài \(AE\): Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông: \[ AE = AC - CE \] Với \(CE = BC \cdot \tan \angle CBE\), ta có: \[ CE = 10 \cdot \tan 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \] \[ AE = 8 - 5.77 = 2.23 \] Kết quả cuối cùng: - \(\tan \angle ACD = \frac{4\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3} + 4}\), \(AD \approx 11.77\) - \(\tan \angle ABE = \frac{4\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3} + 4}\), \(AE \approx 2.23\) Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm góc nhọn \(\alpha = \angle BAC\) tạo bởi hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\). Bước 1: Xác định các đoạn thẳng trong tam giác - Ta có tam giác vuông \(ADC\) với \(CD = 9\) m và \(AD = 12\) m. - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ADC\), ta tính được \(AC\): \[ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ m} \] Bước 2: Tính độ dài đoạn \(AB\) - Tam giác \(ABD\) cũng là tam giác vuông với \(AD = 12\) m và \(BD = 15\) m (chiều cao của trụ). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABD\), ta tính được \(AB\): \[ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \] Bước 3: Tính góc \(\alpha = \angle BAC\) - Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\): \[ \cos \alpha = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] Trong đó, \(BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{15^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306}\). - Thay các giá trị vào công thức: \[ \cos \alpha = \frac{(\sqrt{369})^2 + 15^2 - (\sqrt{306})^2}{2 \cdot \sqrt{369} \cdot 15} \] \[ \cos \alpha = \frac{369 + 225 - 306}{2 \cdot \sqrt{369} \cdot 15} \] \[ \cos \alpha = \frac{288}{2 \cdot \sqrt{369} \cdot 15} \] \[ \cos \alpha = \frac{288}{30 \cdot \sqrt{369}} \] Bước 4: Tính giá trị gần đúng của \(\alpha\) - Sử dụng máy tính để tính \(\alpha\): \[ \alpha \approx \cos^{-1}\left(\frac{288}{30 \cdot \sqrt{369}}\right) \] Sau khi tính toán, ta có: \[ \alpha \approx 53.1^\circ \] Vậy góc nhọn \(\alpha = \angle BAC\) tạo bởi hai sợi dây cáp là khoảng \(53.1^\circ\).