Giuo mik vs

Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D' bằng 60°. Lập luận: 1. Trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau. Giả sử cạnh của hình lập phương là \( a \). 2. Đường chéo mặt phẳng \( AC \) và \( A'D' \) đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương. 3. Độ dài của đường chéo mặt phẳng là \( AC = A'D' = a\sqrt{2} \). 4. Góc giữa hai đường chéo này có thể được tính bằng cách sử dụng tích vô hướng: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{A'D'}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{A'D'}|} \] 5. Do hai đường chéo này nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau, góc giữa chúng là 60°. b) \( AC' \perp (A'BD) \). Lập luận: 1. Mặt phẳng \( (A'BD) \) chứa các điểm \( A', B, D \). 2. Đường thẳng \( AC' \) là đường chéo của mặt phẳng \( (ABCD') \). 3. Để chứng minh \( AC' \perp (A'BD) \), ta cần chứng minh rằng \( AC' \) vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng \( (A'BD) \). 4. Ta thấy \( AC' \) vuông góc với \( A'B \) và \( A'D \) do các cạnh của hình lập phương vuông góc với nhau. c) \( (A'D'CB) \perp (B'C'DA) \). Lập luận: 1. Mặt phẳng \( (A'D'CB) \) và \( (B'C'DA) \) là hai mặt phẳng đối diện của hình lập phương. 2. Hai mặt phẳng này có các cạnh song song và bằng nhau. 3. Do đó, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau. d) Góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) bằng \( \widehat{AC'C} \). Lập luận: 1. Đường thẳng \( A'C \) là đường chéo không gian của hình lập phương. 2. Để tìm góc giữa \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABCD) \), ta cần tìm hình chiếu của \( A'C \) lên mặt phẳng \( (ABCD) \). 3. Hình chiếu của \( A'C \) lên mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( AC \). 4. Do đó, góc giữa \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) chính là góc \( \widehat{AC'C} \). Hy vọng các lập luận trên giúp bạn hiểu rõ hơn về các tính chất hình học của hình lập phương trong bài toán này. Câu 1: Để tính đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) tại \( x = 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm cấp một \( f'(x) \) Hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \] trong đó \( u(x) = x + 1 \) và \( v(x) = 2x - 3 \). Đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \) lần lượt là: \[ u'(x) = 1 \] \[ v'(x) = 2 \] Theo quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Thay \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \), và \( v'(x) \) vào công thức trên: \[ f'(x) = \frac{(1)(2x - 3) - (x + 1)(2)}{(2x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x - 3 - 2x - 2}{(2x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-5}{(2x - 3)^2} \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai \( f''(x) \) Bây giờ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{-5}{(2x - 3)^2} \] Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức lại một lần nữa: \[ f'(x) = \frac{u_1(x)}{v_1(x)} \] trong đó \( u_1(x) = -5 \) và \( v_1(x) = (2x - 3)^2 \). Đạo hàm của \( u_1(x) \) và \( v_1(x) \) lần lượt là: \[ u_1'(x) = 0 \] \[ v_1'(x) = 2(2x - 3) \cdot 2 = 4(2x - 3) \] Theo quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ f''(x) = \frac{u_1'(x)v_1(x) - u_1(x)v_1'(x)}{[v_1(x)]^2} \] Thay \( u_1(x) \), \( u_1'(x) \), \( v_1(x) \), và \( v_1'(x) \) vào công thức trên: \[ f''(x) = \frac{0 \cdot (2x - 3)^2 - (-5) \cdot 4(2x - 3)}{[(2x - 3)^2]^2} \] \[ f''(x) = \frac{20(2x - 3)}{(2x - 3)^4} \] \[ f''(x) = \frac{20}{(2x - 3)^3} \] Bước 3: Tính giá trị của \( f''(x) \) tại \( x = 2 \) Thay \( x = 2 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(2) = \frac{20}{(2 \cdot 2 - 3)^3} \] \[ f''(2) = \frac{20}{(4 - 3)^3} \] \[ f''(2) = \frac{20}{1^3} \] \[ f''(2) = 20 \] Vậy, đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) tại \( x = 2 \) là \( 20 \). Câu 2: Để tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số phần tử trong mẫu số liệu: \[ n = 100 \] Bước 2: Xác định vị trí của số trung vị. Vì \( n \) là số chẵn, nên số trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị thứ 50 và 51. Bước 3: Tính lũy tích tần số để xác định khoảng chứa số trung vị: - Khoảng \([0,5; 2,5)\): 17 xe - Khoảng \([2,5; 4,5)\): 17 + 33 = 50 xe - Khoảng \([4,5; 6,5)\): 50 + 25 = 75 xe - Khoảng \([6,5; 8,5)\): 75 + 20 = 95 xe - Khoảng \([8,5; 10,5)\): 95 + 5 = 100 xe Bước 4: Số trung vị nằm trong khoảng \([2,5; 4,5)\) vì lũy tích tần số tại khoảng này là 50, tức là bao gồm cả giá trị thứ 50 và 51. Bước 5: Áp dụng công thức tính số trung vị cho dữ liệu ghép nhóm: \[ Me = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{\text{trước}}}{f} \right) \times c \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của khoảng chứa số trung vị (\( L = 2,5 \)) - \( n \) là tổng số phần tử (\( n = 100 \)) - \( F_{\text{trước}} \) là lũy tích tần số trước khoảng chứa số trung vị (\( F_{\text{trước}} = 17 \)) - \( f \) là tần số của khoảng chứa số trung vị (\( f = 33 \)) - \( c \) là chiều rộng của khoảng (\( c = 2 \)) Thay các giá trị vào công thức: \[ Me = 2,5 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 17}{33} \right) \times 2 \] \[ Me = 2,5 + \left( \frac{50 - 17}{33} \right) \times 2 \] \[ Me = 2,5 + \left( \frac{33}{33} \right) \times 2 \] \[ Me = 2,5 + 1 \times 2 \] \[ Me = 2,5 + 2 \] \[ Me = 4,5 \] Vậy số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là 4,5. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức đã cho. Bước 1: Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_3 a^2 + \log_3 \frac{b}{a} = 1 \] Ta có: \[ \log_3 a^2 = 2 \log_3 a \] và \[ \log_3 \frac{b}{a} = \log_3 b - \log_3 a \] Bước 2: Thay các biểu thức trên vào phương trình ban đầu: \[ 2 \log_3 a + (\log_3 b - \log_3 a) = 1 \] Bước 3: Kết hợp các hạng tử liên quan đến \(\log_3 a\): \[ 2 \log_3 a + \log_3 b - \log_3 a = 1 \] \[ \log_3 a + \log_3 b = 1 \] Bước 4: Áp dụng tính chất của logarit để kết hợp hai logarit thành một: \[ \log_3 (a \cdot b) = 1 \] Bước 5: Biến đổi từ logarit sang dạng mũ: \[ a \cdot b = 3^1 \] \[ a \cdot b = 3 \] Bước 6: Tính giá trị của \(T = a^2 b\): \[ T = a^2 b = a \cdot a \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \] \[ T = a \cdot 3 \] Bước 7: Vì \(a \cdot b = 3\), ta có thể chọn \(a = 1\) và \(b = 3\) để đơn giản hóa việc tính toán: \[ T = 1^2 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 \] Vậy giá trị của \(T\) là: \[ T = 3 \] Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố của hình chóp: - Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, do đó \( AC = BC \). - \( AB = 3\sqrt{6} \). - Cạnh bên \( SA \) vuông góc với mặt phẳng (ABC), nghĩa là \( SA \perp (ABC) \). - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \( 60^\circ \). 2. Tính các cạnh của tam giác ABC: Vì tam giác ABC vuông cân tại C, ta có: \[ AC = BC = x \] Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2x^2 \] \[ (3\sqrt{6})^2 = 2x^2 \Rightarrow 54 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 27 \Rightarrow x = 3\sqrt{3} \] Vậy \( AC = BC = 3\sqrt{3} \). 3. Tính chiều cao SC: Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là \( 60^\circ \), do đó: \[ \cos 60^\circ = \frac{AC}{SC} = \frac{1}{2} \] \[ SC = 2 \times AC = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] 4. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC): Do \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \) cũng vuông góc với đường thẳng BC. Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) chính là độ dài đoạn thẳng \( SA \). Ta cần tính \( SA \) bằng cách sử dụng tam giác vuông SAC: \[ SA^2 + AC^2 = SC^2 \] \[ SA^2 + (3\sqrt{3})^2 = (6\sqrt{3})^2 \] \[ SA^2 + 27 = 108 \] \[ SA^2 = 81 \Rightarrow SA = 9 \] Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là 9. Câu 1: Để tính thể tích của khối chóp cụt tứ giác đều, ta sử dụng công thức: \[ V = \frac{1}{3} h (B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2}) \] Trong đó: - \( h \) là chiều cao của khối chóp cụt. - \( B_1 \) và \( B_2 \) lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ. Bước 1: Tính diện tích đáy lớn và đáy nhỏ Đáy lớn là hình vuông có cạnh dài 5m, nên diện tích \( B_1 \) là: \[ B_1 = 5^2 = 25 \, \text{m}^2 \] Đáy nhỏ là hình vuông có cạnh dài 2m, nên diện tích \( B_2 \) là: \[ B_2 = 2^2 = 4 \, \text{m}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao \( h \) của khối chóp cụt Cạnh bên của khối chóp cụt là 3m. Ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao \( h \), nửa hiệu của hai cạnh đáy (tức là \(\frac{5 - 2}{2} = 1.5\) m), và cạnh bên 3m: \[ h^2 + 1.5^2 = 3^2 \] \[ h^2 + 2.25 = 9 \] \[ h^2 = 6.75 \] \[ h = \sqrt{6.75} \] Bước 3: Tính thể tích \( V \) của khối chóp cụt Thay các giá trị vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{6.75} \times (25 + 4 + \sqrt{25 \times 4}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{6.75} \times (29 + 10) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{6.75} \times 39 \] Tính giá trị cụ thể: \[ V \approx \frac{1}{3} \times 2.6 \times 39 \approx 33.8 \, \text{m}^3 \] Vậy, thể tích của chân tháp là khoảng \( 33.8 \, \text{m}^3 \). Câu 2: Để tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau 2 ván cờ, chúng ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra trong 2 ván cờ đầu tiên. Trường hợp 1: Việt thắng ván thứ nhất và Nam thắng ván thứ hai. - Xác suất Việt thắng ván thứ nhất là 0,3. - Xác suất Nam thắng ván thứ hai là 0,4. - Xác suất của trường hợp này là: 0,3 × 0,4 = 0,12. Trường hợp 2: Nam thắng ván thứ nhất và Việt thắng ván thứ hai. - Xác suất Nam thắng ván thứ nhất là 0,4. - Xác suất Việt thắng ván thứ hai là 0,3. - Xác suất của trường hợp này là: 0,4 × 0,3 = 0,12. Trường hợp 3: Cả hai cùng hòa cả hai ván. - Xác suất hòa của mỗi ván là 1 - (0,3 + 0,4) = 0,3. - Xác suất hòa của cả hai ván là: 0,3 × 0,3 = 0,09. Tổng xác suất để hai bạn dừng chơi sau 2 ván cờ là tổng xác suất của ba trường hợp trên: 0,12 + 0,12 + 0,09 = 0,33. Vậy xác suất để hai bạn dừng chơi sau 2 ván cờ là 0,33. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính lãi kép: \[ A = P \times (1 + r)^n \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cả gốc và lãi sau \( n \) năm. - \( P \) là số tiền gốc ban đầu. - \( r \) là lãi suất hàng năm. - \( n \) là số năm gửi tiền. Theo đề bài: - Số tiền gốc \( P = 100 \) triệu đồng. - Lãi suất \( r = 6\% = 0.06 \). - Số tiền mong muốn \( A > 130 \) triệu đồng. Chúng ta cần tìm \( n \) sao cho \( A > 130 \). \[ 100 \times (1 + 0.06)^n > 130 \] \[ 100 \times 1.06^n > 130 \] \[ 1.06^n > \frac{130}{100} \] \[ 1.06^n > 1.3 \] Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của \( n \) để tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên. - Với \( n = 4 \): \[ 1.06^4 = 1.26247 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 5 \): \[ 1.06^5 = 1.33822 \] (thỏa mãn) Vậy, người đó phải gửi ít nhất 5 năm để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng. Đáp số: 5 năm. Câu 4: Để tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm, chúng ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) = 20t - \frac{5}{2}t^2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( S(t) \): \[ S'(t) = \frac{d}{dt}\left(20t - \frac{5}{2}t^2\right) \] \[ S'(t) = 20 - 5t \] Bước 2: Xác định thời điểm \( t \) khi xảy ra va chạm: Theo đề bài, ô tô để lại vết trượt dài 20.4 m. Ta cần tìm \( t \) sao cho \( S(t) = 20.4 \): \[ 20t - \frac{5}{2}t^2 = 20.4 \] \[ 20t - \frac{5}{2}t^2 - 20.4 = 0 \] \[ 40t - 5t^2 - 40.8 = 0 \] \[ 5t^2 - 40t + 40.8 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ 5t^2 - 40t + 40.8 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( at^2 + bt + c = 0 \): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 5 \), \( b = -40 \), \( c = 40.8 \): \[ t = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 40.8}}{2 \cdot 5} \] \[ t = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 816}}{10} \] \[ t = \frac{40 \pm \sqrt{784}}{10} \] \[ t = \frac{40 \pm 28}{10} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{40 + 28}{10} = 6.8 \] \[ t_2 = \frac{40 - 28}{10} = 1.2 \] Vì \( 0 \leq t \leq 4 \), nên ta chọn \( t = 1.2 \). Bước 4: Thay \( t = 1.2 \) vào \( S'(t) \): \[ S'(1.2) = 20 - 5 \cdot 1.2 \] \[ S'(1.2) = 20 - 6 \] \[ S'(1.2) = 14 \] Vậy vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là 14 m/s. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của điểm H: Do H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) và thuộc cạnh AB, ta có: \[ HA = 2HB \] Gọi \( AB = a \), ta có: \[ HA + HB = a \] Kết hợp với \( HA = 2HB \), ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} HA = 2HB \\ HA + HB = a \end{cases} \] Thay \( HA = 2HB \) vào phương trình thứ hai: \[ 2HB + HB = a \Rightarrow 3HB = a \Rightarrow HB = \frac{a}{3} \] Suy ra: \[ HA = 2HB = \frac{2a}{3} \] 2. Tính độ dài SH: Vì H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi \( SC \) là đường cao của tam giác đều \( \triangle ABC \), ta có: \[ SC = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \( 60^\circ \), do đó: \[ \tan 60^\circ = \frac{SH}{HC} \] Mà \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), nên: \[ \sqrt{3} = \frac{SH}{HC} \Rightarrow SH = \sqrt{3} \cdot HC \] 3. Tính khoảng cách h giữa SA và BC: Để tính khoảng cách từ SA đến BC, ta cần tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC. Do H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khoảng cách từ S đến BC chính là độ dài đoạn SH. Từ bước 2, ta đã có: \[ SH = \sqrt{3} \cdot HC \] Mà \( HC = \frac{a\sqrt{3}}{6} \) (vì H chia AB theo tỉ lệ 2:1 và C là trung điểm của AB trong tam giác đều), nên: \[ SH = \sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3a}{6} = \frac{a}{2} \] Vậy, khoảng cách \( h \) giữa đường thẳng SA và BC là \( \frac{a}{2} \).