Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. CM: $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge2$.

Question

Timi · Accepted Answer

Ta có:
$$b^3+1=b^3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\leq b^3+\frac{b^2+1}{2}+\frac{1+b^2}{2}=b^3+b^2+1.$$
Do đó:
$$\sqrt{b^3+1}\leq \sqrt{b^3+b^2+1}=\sqrt{(b+1)(b^2+1)}.$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\sqrt{(b+1)(b^2+1)}\leq \frac{b+1+b^2+1}{2}=\frac{b^2+b+2}{2}.$$
Từ đây suy ra:
$$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\geq \frac{2a}{b^2+b+2}.$$
Tương tự:
$$\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}\geq \frac{2b}{c^2+c+2},$$
$$\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq \frac{2c}{a^2+a+2}.$$
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
$$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2\left(\frac{a}{b^2+b+2}+\frac{b}{c^2+c+2}+\frac{c}{a^2+a+2}\right).$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\frac{a}{b^2+b+2}+\frac{b}{c^2+c+2}+\frac{c}{a^2+a+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}.$$
Ta có:
$$ab^2+bc^2+ca^2+a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1).$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$ab(a+1)\leq ab\cdot \frac{a+1+1}{2}=\frac{ab(a+2)}{2}.$$
Tương tự:
$$bc(b+1)\leq \frac{bc(b+2)}{2},$$
$$ca(c+1)\leq \frac{ca(c+2)}{2}.$$
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
$$ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)\leq \frac{ab(a+2)+bc(b+2)+ca(c+2)}{2}.$$
Ta có:
$$ab(a+2)+bc(b+2)+ca(c+2)=a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca).$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}.$$
Từ đây suy ra:
$$ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)\leq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}{6}.$$
Ta có:
$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(ab+bc+ca).$$
Từ đây suy ra:
$$ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)+6(ab+bc+ca)}{6}=\frac{(a+b+c+6)(ab+bc+ca)}{6}.$$
Do đó:
$$\frac{a}{b^2+b+2}+\frac{b}{c^2+c+2}+\frac{c}{a^2+a+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{(a+b+c+6)(ab+bc+ca)}{6}}=\frac{6(a+b+c)}{a+b+c+6}.$$
Từ đây suy ra:
$$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2\cdot \frac{6(a+b+c)}{a+b+c+6}=2.$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$.