Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC=100 độ,tia phân giác góc B cắt AC tại D.Qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC ở I.a)cm BD là đường trung trực của AI.b)Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh BD là đường trung trực của AI. - Tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. - Góc BAC = 100 độ, do đó góc ABC = góc ACB = 40 độ (vì tổng ba góc trong tam giác là 180 độ). - D là điểm trên AC sao cho BD là phân giác của góc ABC, do đó góc ABD = góc CBD = 20 độ. - Qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC tại I, do đó góc AID = 90 độ. - Vì AI vuông góc với BD tại I, nên BD là đường trung trực của AI. b) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DA. Chứng minh tam giác AIK đều. - Vì DK = DA và D là trung điểm của AI (do BD là đường trung trực của AI), nên tam giác ADK cân tại D. - Góc ADK = góc DAK = 40 độ (vì tam giác ADK cân và góc BAC = 100 độ). - Do đó, góc AIK = 60 độ (vì góc AID = 90 độ và góc DAK = 40 độ). - Tam giác AIK có góc AIK = 60 độ và AI = IK (do BD là đường trung trực của AI), nên tam giác AIK đều. c) Chứng minh BK = BC. - Tam giác AIK đều, nên AI = IK. - DK = DA và D là trung điểm của AI, nên AK = AI. - Do đó, BK = BC (vì tam giác BKC cân tại B và AK = AI). d) Lấy điểm E thuộc BD. Chứng minh BC + EA > AB + EC. - Theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác BEC, ta có: BE + EC > BC. - Trong tam giác ABE, ta có: AB + BE > AE. - Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có: (BE + EC) + (AB + BE) > BC + AE. - Suy ra: 2BE + EC + AB > BC + AE. - Vì E thuộc BD, nên BE > 0, do đó: BC + EA > AB + EC. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết và phù hợp với kiến thức lớp 7.