giải các hệ phương trình sau

a) Đặt \(u = \frac{1}{x}\) và \(v = \frac{1}{y}\). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2u + v = 7 \\ u + 2v = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2u + 4v = 0 \] Trừ phương trình này cho phương trình thứ nhất: \[ (2u + 4v) - (2u + v) = 0 - 7 \implies 3v = -7 \implies v = -\frac{7}{3} \] Thay \(v = -\frac{7}{3}\) vào phương trình \(u + 2v = 0\): \[ u + 2\left(-\frac{7}{3}\right) = 0 \implies u - \frac{14}{3} = 0 \implies u = \frac{14}{3} \] Do đó: \[ \frac{1}{x} = \frac{14}{3} \implies x = \frac{3}{14} \] \[ \frac{1}{y} = -\frac{7}{3} \implies y = -\frac{3}{7} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(\frac{3}{14}, -\frac{3}{7}\right) \] b) Đặt \(u = \frac{1}{x-1}\) và \(v = \frac{1}{3y+1}\). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2u + 4v = 6 \\ -5u + 8v = 3 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 5: \[ 10u + 20v = 30 \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ -10u + 16v = 6 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (10u + 20v) + (-10u + 16v) = 30 + 6 \implies 36v = 36 \implies v = 1 \] Thay \(v = 1\) vào phương trình \(2u + 4v = 6\): \[ 2u + 4 \cdot 1 = 6 \implies 2u + 4 = 6 \implies 2u = 2 \implies u = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-1} = 1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2 \] \[ \frac{1}{3y+1} = 1 \implies 3y + 1 = 1 \implies 3y = 0 \implies y = 0 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (2, 0) \] c) Đặt \(u = \frac{1}{x-y}\) và \(v = \frac{1}{2x+y}\). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} -3u + 5v = -2 \\ 4u - v = 2 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 5: \[ 20u - 5v = 10 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (-3u + 5v) + (20u - 5v) = -2 + 10 \implies 17u = 8 \implies u = \frac{8}{17} \] Thay \(u = \frac{8}{17}\) vào phương trình \(4u - v = 2\): \[ 4 \cdot \frac{8}{17} - v = 2 \implies \frac{32}{17} - v = 2 \implies v = \frac{32}{17} - 2 = \frac{32}{17} - \frac{34}{17} = -\frac{2}{17} \] Do đó: \[ \frac{1}{x-y} = \frac{8}{17} \implies x - y = \frac{17}{8} \] \[ \frac{1}{2x+y} = -\frac{2}{17} \implies 2x + y = -\frac{17}{2} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - y = \frac{17}{8} \\ 2x + y = -\frac{17}{2} \end{cases} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (x - y) + (2x + y) = \frac{17}{8} - \frac{17}{2} \implies 3x = \frac{17}{8} - \frac{68}{8} = -\frac{51}{8} \implies x = -\frac{17}{8} \] Thay \(x = -\frac{17}{8}\) vào phương trình \(x - y = \frac{17}{8}\): \[ -\frac{17}{8} - y = \frac{17}{8} \implies y = -\frac{17}{8} - \frac{17}{8} = -\frac{34}{8} = -\frac{17}{4} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(-\frac{17}{8}, -\frac{17}{4}\right) \] d) Đặt \(u = \frac{x}{x+1}\) và \(v = \frac{y}{y-3}\). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 5u + v = 27 \\ 2u - 3v = 4 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 15u + 3v = 81 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (15u + 3v) + (2u - 3v) = 81 + 4 \implies 17u = 85 \implies u = 5 \] Thay \(u = 5\) vào phương trình \(5u + v = 27\): \[ 5 \cdot 5 + v = 27 \implies 25 + v = 27 \implies v = 2 \] Do đó: \[ \frac{x}{x+1} = 5 \implies x = 5(x+1) \implies x = 5x + 5 \implies -4x = 5 \implies x = -\frac{5}{4} \] \[ \frac{y}{y-3} = 2 \implies y = 2(y-3) \implies y = 2y - 6 \implies -y = -6 \implies y = 6 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(-\frac{5}{4}, 6\right) \]