Tìm giá trị m. a) Tìm m để hàm số sau đây liên tục tại điểm $x=1$,$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac1{x-1}-\frac3{x^3-1}&khi~x1,\|x^2+m|&khi~x\leq1.\end{array} ight.$

Question

Tìm giá trị m. a) Tìm m để hàm số sau đây liên tục tại điểm $x=1$,$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac1{x-1}-\frac3{x^3-1}&khi~x>1,\|x^2+m|&khi~x\leq1.\end{array}ight.$

Timi · Accepted Answer

Để hàm số liên tục tại điểm $ x = 1 $, ta cần đảm bảo rằng giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại $ x = 1 $ đều bằng giá trị của hàm số tại $ x = 1 $.

Trước tiên, ta tính giá trị của hàm số tại $ x = 1 $:
$$ f(1) = |1^2 + m| = |1 + m|. $$

Tiếp theo, ta tính giới hạn trái của hàm số khi $ x $ tiến đến $ 1 $ từ phía bên trái:
$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = |1^2 + m| = |1 + m|. $$

Bây giờ, ta tính giới hạn phải của hàm số khi $ x $ tiến đến $ 1 $ từ phía bên phải:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{3}{x^3-1} \right). $$

Ta có thể viết lại $ x^3 - 1 $ dưới dạng $ (x-1)(x^2 + x + 1) $:
$$ \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{3}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \right). $$

Gộp hai phân số thành một:
$$ \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{(x^2 + x + 1) - 3}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \right) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{x^2 + x - 2}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \right). $$

Phân tích tử số $ x^2 + x - 2 $ thành $ (x-1)(x+2) $:
$$ \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \right) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{x+2}{x^2 + x + 1} \right). $$

Thay $ x = 1 $ vào biểu thức trên:
$$ \frac{1+2}{1^2 + 1 + 1} = \frac{3}{3} = 1. $$

Do đó, giới hạn phải của hàm số tại $ x = 1 $ là 1.

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
$$ |1 + m| = 1. $$

Giải phương trình này:
$$ 1 + m = 1 \quad \text{hoặc} \quad 1 + m = -1. $$
$$ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = -2. $$

Vậy, giá trị của $ m $ là $ m = 0 $ hoặc $ m = -2 $.