Một vật dđđh dọc theo trục Ox với phương trình x = 3cos(4pit - pi/3), (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 13/6s đến thời điểm t2=23/6s là bao nhiêu?

Đề bài: Vật dao động điều hòa dọc trục Ox với phương trình: \[ x = 3 \cos\left(4 \pi t - \frac{\pi}{3}\right) \] (t tính bằng giây). Tính quãng đường vật đi được từ \( t_1 = \frac{13}{6} \, s \) đến \( t_2 = \frac{23}{6} \, s \). --- **Bước 1: Xác định các đại lượng cơ bản** - Biên độ \( A = 3 \, cm \) - \(\omega = 4 \pi \, rad/s\) --- **Bước 2: Tính vị trí tại \( t_1 \) và \( t_2 \)** Công thức: \[ x(t) = 3 \cos\left(4 \pi t - \frac{\pi}{3}\right) \] Tính \( x(t_1) \): \[ x\left(\frac{13}{6}\right) = 3 \cos\left(4 \pi \times \frac{13}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \cos\left(\frac{52 \pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) \] \[ = 3 \cos\left(\frac{52 \pi}{6} - \frac{2 \pi}{6}\right) = 3 \cos\left(\frac{50 \pi}{6}\right) = 3 \cos\left( \frac{25 \pi}{3} \right) \] Do hàm cos có chu kỳ \( 2 \pi \), ta giảm góc: \[ \frac{25 \pi}{3} = 8 \pi + \frac{\pi}{3} = 4 \times 2 \pi + \frac{\pi}{3} \] Vì cos lặp lại mỗi \( 2 \pi \): \[ \cos\left( \frac{25 \pi}{3} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ x\left(\frac{13}{6}\right) = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \, cm \] --- Tính \( x(t_2) \): \[ x\left(\frac{23}{6}\right) = 3 \cos\left(4 \pi \times \frac{23}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \cos\left(\frac{92 \pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \cos\left(\frac{92 \pi}{6} - \frac{2 \pi}{6}\right) = 3 \cos\left(\frac{90 \pi}{6}\right) \] \[ = 3 \cos(15 \pi) = 3 \times (-1)^ {15} = 3 \times (-1) = -3 \, cm \] --- **Bước 3: Tính chu kỳ dao động** Chu kỳ: \[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{4 \pi} = \frac{1}{2} \, s \] --- **Bước 4: Tính số chu kỳ vật đi được từ \( t_1 \) đến \( t_2 \)** \[ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{23}{6} - \frac{13}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \, s \] Số chu kỳ: \[ n = \frac{\Delta t}{T} = \frac{5/3}{1/2} = \frac{5}{3} \times 2 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, chu kỳ \] --- **Bước 5: Tính quãng đường** Mỗi chu kỳ vật đi quãng đường là: \[ s_{1 chu kỳ} = 4 A = 4 \times 3 = 12 \, cm \] Quãng đường đi trong 3 chu kỳ: \[ 3 \times 12 = 36 \, cm \] Còn phần 0.33 chu kỳ (tương đương \( \frac{1}{3} \) chu kỳ): - Thời gian phần dư: \( \frac{1}{3} \times T = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} s \) - Từ \( t_1 \), vật ở vị trí \( x_1 = 1.5 \, cm \). - Sau 3 chu kỳ (3 × 0.5 s = 1.5 s), vị trí quay lại như cũ: vị trí vẫn là \( x_1 = 1.5 \, cm \). Do đó, từ \( t_1 \) đến \( t_1 + 1.5 s \), vật đi được quãng đường 36 cm. Bây giờ xét phần dư \( \frac{1}{6} s \), tức khoảng thời gian từ \( t = t_1 + 1.5 s \) đến \( t = t_2 \). Tính vị trí tại thời điểm \( t_3 = t_1 + 1.5 = \frac{13}{6} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6} + \frac{9}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} s \): \[ x(t_3) = 3 \cos\left(4 \pi \times \frac{11}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \cos\left(\frac{44 \pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \cos\left(\frac{43 \pi}{3}\right) \] Rút gọn góc: \[ \frac{43 \pi}{3} = 14 \times 2\pi + \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \cos\left(\frac{43 \pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ x(t_3) = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \, cm \] Vị trí tại \( t_3 \) và \( t_1 \) đều bằng 1.5 cm, tức vật đi hết 3 chu kỳ về vị trí cũ. Cuối cùng, tính vị trí tại \( t_2 = \frac{23}{6} \) như trên ta có \( x(t_2) = -3 \, cm \). Phần thời gian dư là từ \( t_3 = \frac{11}{3} = 3.666... s \) đến \( t_2 = \frac{23}{6} = 3.833... s \). Khoảng thời gian này là \( t_2 - t_3 = 3.833... - 3.666... = 0.1667 s \), đúng bằng \( \frac{1}{6} s \). --- **Tính quãng đường đi trong khoảng từ \( t_3 \) đến \( t_2 \)** Từ vị trí \( x(t_3) = 1.5 \, cm \) đến \( x(t_2) = -3 \, cm \), vật đi một quãng đường ít nhất là khoảng cách giữa hai vị trí này: \[ |x(t_2) - x(t_3)| = |-3 - 1.5| = 4.5 \, cm \] Tuy nhiên, vật dao động, có thể vật đi thêm quãng đường khác trong khoảng này. Ta kiểm tra xem vật có qua vị trí cực đại (biên độ) hoặc điểm cân bằng trong khoảng này không để tính chính xác quãng đường. --- **Bước 6: Tính thời điểm qua các điểm đặc biệt trong khoảng từ \( t_3 \) đến \( t_2 \)** Biên độ: \[ x = \pm 3 \, cm \] Điểm cân bằng: \[ x = 0 \] --- **Tính pha tại \( t_3 \) và \( t_2 \):** \[ \theta(t) = 4 \pi t - \frac{\pi}{3} \] \[ \theta(t_3) = 4 \pi \times \frac{11}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{44 \pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{43 \pi}{3} = 14 \times 2 \pi + \frac{\pi}{3} \] \[ \theta(t_3) \equiv \frac{\pi}{3} \quad (\text{mod } 2 \pi) \] \[ \theta(t_2) = 4 \pi \times \frac{23}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{92 \pi}{6} - \frac{2 \pi}{6} = \frac{90 \pi}{6} = 15 \pi = 7 \times 2 \pi + \pi \] \[ \theta(t_2) \equiv \pi \quad (\text{mod } 2 \pi) \] --- **Khoảng pha từ \( t_3 \) đến \( t_2 \):** \[ \Delta \theta = \theta(t_2) - \theta(t_3) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3} \] --- **Xác định các điểm vật đi qua trong pha từ \( \frac{\pi}{3} \) đến \( \pi \):** - Vật đi từ pha \( \frac{\pi}{3} \) đến \( \pi \). - Khi \(\theta = \frac{\pi}{2}\), vật qua vị trí cân bằng \( x=0 \). - Khi \(\theta = \pi\), vật ở biên âm \( x = -A = -3 \, cm \). --- **Tính quãng đường từ \( t_3 \) đến \( t_2 \):** - Từ \( \theta = \frac{\pi}{3} \) đến \( \theta = \frac{\pi}{2} \), vật đi từ \( x = 3 \cos(\pi/3) = 1.5 \) đến \( x = 0 \). Quãng đường là: \[ 1.5 - 0 = 1.5 \, cm \] - Từ \( \theta = \frac{\pi}{2} \) đến \( \theta = \pi \), vật đi từ \( 0 \) đến \( -3 \). Quãng đường là: \[ 0 - (-3) = 3 \, cm \] --- **Tổng quãng đường trong khoảng \( t_3 \) đến \( t_2 \):** \[ s = 1.5 + 3 = 4.5 \, cm \] --- **Bước 7: Tổng quãng đường từ \( t_1 \) đến \( t_2 \):** \[ s = s_{3 chu kỳ} + s_{\text{phần dư}} = 36 + 4.5 = 40.5 \, cm \] --- **Kết luận:** Quãng đường vật đi được từ \( t_1 = \frac{13}{6} s \) đến \( t_2 = \frac{23}{6} s \) là **40.5 cm**. --- **Đáp số:** \[ \boxed{40.5 \, cm} \]