Câu $\rm 28$.

Câu 28: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của các điểm M, N, P, Q và tính diện tích tứ giác MNPQ. Bước 1: Xác định vị trí các điểm và mặt phẳng \((\alpha)\) - Đáy ABCD là hình thang cân với \(AB \parallel CD\), \(AB = 2CD = 2AD\). Do đó, \(CD = AD = a\) và \(AB = 2a\). - Tam giác \(SCD\) đều cạnh \(a\), do đó \(SC = SD = a\). - Điểm \(M\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(AM = x\), nghĩa là \(MD = a - x\). Mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(M\) và song song với \(AB\) và \(SC\). Do đó, \((\alpha)\) song song với \(AB\) và \(SC\) có nghĩa là \((\alpha)\) song song với mặt phẳng chứa \(AB\) và \(SC\). Bước 2: Xác định các điểm N, P, Q - Do \((\alpha)\) song song với \(AB\), nên \(N\) là giao điểm của \((\alpha)\) với \(BC\). - Do \((\alpha)\) song song với \(SC\), nên \(P\) là giao điểm của \((\alpha)\) với \(SB\). - Do \((\alpha)\) song song với \(SC\), nên \(Q\) là giao điểm của \((\alpha)\) với \(SA\). Bước 3: Tính diện tích tứ giác MNPQ Vì \((\alpha)\) song song với \(AB\) và \(SC\), nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành. Diện tích của hình bình hành được tính bằng tích của độ dài hai cạnh kề và sin của góc giữa chúng. - Cạnh \(MQ\) song song và bằng với \(NP\) (do \((\alpha)\) song song với \(SC\)). - Cạnh \(MN\) song song và bằng với \(PQ\) (do \((\alpha)\) song song với \(AB\)). Do đó, diện tích tứ giác \(MNPQ\) là: \[ S_{MNPQ} = MQ \cdot MN \cdot \sin(\angle MQN) \] Vì \((\alpha)\) song song với \(AB\) và \(SC\), nên \(\angle MQN = 90^\circ\), do đó \(\sin(\angle MQN) = 1\). - \(MQ = NP = \frac{x}{a} \cdot SC = \frac{x}{a} \cdot a = x\) - \(MN = PQ = \frac{x}{a} \cdot AB = \frac{x}{a} \cdot 2a = 2x\) Vậy diện tích tứ giác \(MNPQ\) là: \[ S_{MNPQ} = x \cdot 2x = 2x^2 \] Kết luận: Diện tích tứ giác \(MNPQ\) theo \(a\) và \(x\) là \(2x^2\).