Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu vuông góc của H
lên AC, O là trung điểm của IH.Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại M.
Chứng Minh

$\frac{S\Delta BHI}{S\Delta MAH}=\frac{BC^2}{4AC^2}$

Question

Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu vuông góc của H
lên AC, O là trung điểm của IH.Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại M. 
Chứng Minh
 
$\frac{S\Delta BHI}{S\Delta MAH}=\frac{BC^2}{4AC^2}$

Accepted Answer

Để chứng minh đẳng thức $\frac{S\Delta BHI}{S\Delta MAH}=\frac{BC^2}{4AC^2}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích $\Delta BHI$:

- Tam giác $ABC$ cân tại $A$, do đó $H$ là trung điểm của $BC$, nên $BH = \frac{BC}{2}$.
   - $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AC$, do đó $HI$ là đường cao của tam giác $BHI$.
   - Diện tích tam giác $BHI$ được tính bằng công thức:
     $$
     S_{\Delta BHI} = \frac{1}{2} \times BH \times HI = \frac{1}{2} \times \frac{BC}{2} \times HI = \frac{BC \times HI}{4}
     $$

2. Tính diện tích $\Delta MAH$:

- Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $AC$ tại $M$, do đó $MB$ là đường cao của tam giác $MAH$.
   - Diện tích tam giác $MAH$ được tính bằng công thức:
     $$
     S_{\Delta MAH} = \frac{1}{2} \times AH \times MB
     $$

3. Tính tỉ số $\frac{S\Delta BHI}{S\Delta MAH}$:

- Từ các công thức diện tích đã tính, ta có:
     $$
     \frac{S_{\Delta BHI}}{S_{\Delta MAH}} = \frac{\frac{BC \times HI}{4}}{\frac{1}{2} \times AH \times MB} = \frac{BC \times HI}{2 \times AH \times MB}
     $$

4. Chứng minh $\frac{BC \times HI}{2 \times AH \times MB} = \frac{BC^2}{4AC^2}$:

- Do $O$ là trung điểm của $IH$, nên $IO = \frac{IH}{2}$.
   - Vì $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AC$, nên $HI$ là đoạn vuông góc từ $H$ đến $AC$.
   - Ta có $AH = \frac{AC}{2}$ vì $H$ là trung điểm của $BC$ và tam giác $ABC$ cân tại $A$.
   - Do đó, $MB = AC$ vì $M$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$.
   - Thay các giá trị này vào tỉ số:
     $$
     \frac{BC \times HI}{2 \times AH \times MB} = \frac{BC \times HI}{2 \times \frac{AC}{2} \times AC} = \frac{BC \times HI}{AC^2}
     $$
   - Vì $HI = \frac{BC}{2}$ (do $H$ là trung điểm của $BC$), ta có:
     $$
     \frac{BC \times \frac{BC}{2}}{AC^2} = \frac{BC^2}{2 \times AC^2} = \frac{BC^2}{4AC^2}
     $$

Vậy, ta đã chứng minh được $\frac{S\Delta BHI}{S\Delta MAH}=\frac{BC^2}{4AC^2}$.

Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu vuông góc của H lên AC, O là trung điểm của IH.Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại M. Chứng Minh...