Giúp mình với!

Bài tập 1: a) Với \( x = 16 \): \[ A = \frac{2\sqrt{16} + 4}{\sqrt{16} - 3} = \frac{2 \cdot 4 + 4}{4 - 3} = \frac{8 + 4}{1} = \frac{12}{1} = 12 \] b) Ta rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{x + 9}{9 - x} \] Ta viết lại \( B \) dưới dạng chung: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{x + 9}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Quy đồng mẫu số: \[ B = \frac{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x}) + x + 9}{(3 + \sqrt{x})(3 - \sqrt{x})} \] Rút gọn tử số: \[ B = \frac{3\sqrt{x} - x + x + 9}{9 - x} = \frac{3\sqrt{x} + 9}{9 - x} \] c) Ta có: \[ P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{3\sqrt{x} + 9}{9 - x}}{\frac{2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 3}} \] Nhân chéo: \[ P = \frac{(3\sqrt{x} + 9)(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] Rút gọn: \[ P = \frac{3\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 9(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] \[ P = \frac{3x - 9\sqrt{x} + 9\sqrt{x} - 27}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] \[ P = \frac{3x - 27}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] \[ P = \frac{3(x - 9)}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] \[ P = \frac{-3(9 - x)}{(9 - x)(2\sqrt{x} + 4)} \] \[ P = \frac{-3}{2\sqrt{x} + 4} \] Yêu cầu \( P < \frac{-1}{3} \): \[ \frac{-3}{2\sqrt{x} + 4} < \frac{-1}{3} \] Nhân chéo: \[ -9 < -(2\sqrt{x} + 4) \] \[ -9 < -2\sqrt{x} - 4 \] \[ -5 < -2\sqrt{x} \] \[ 5 > 2\sqrt{x} \] \[ \sqrt{x} < \frac{5}{2} \] \[ x < \left(\frac{5}{2}\right)^2 \] \[ x < \frac{25}{4} \] Vậy, giá trị của \( x \) để \( P < \frac{-1}{3} \) là \( x < \frac{25}{4} \). Bài tập 2: Giải: a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) đã cho là: \[ P = \left( \frac{\sqrt{a}}{a-4} + \frac{2}{2-\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}+2} \right) : \frac{6}{a+2\sqrt{a}} \] Trước hết, ta sẽ rút gọn phần tử số của \( P \): \[ \frac{\sqrt{a}}{a-4} + \frac{2}{2-\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}+2} \] Ta biết rằng \( a - 4 = (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) \). Do đó, ta có thể viết lại các phân số trên cùng mẫu số chung \( (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) \): \[ \frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} + \frac{2(\sqrt{a} + 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} + \frac{(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \] Gộp các phân số này lại, ta có: \[ \frac{\sqrt{a} + 2(\sqrt{a} + 2) + (\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \] Rút gọn tử số: \[ \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 4 + \sqrt{a} - 2 = 4\sqrt{a} + 2 \] Do đó: \[ \frac{4\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \] Bây giờ, ta sẽ rút gọn toàn bộ biểu thức \( P \): \[ P = \frac{4\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} : \frac{6}{a + 2\sqrt{a}} \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ P = \frac{4\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \cdot \frac{a + 2\sqrt{a}}{6} \] Rút gọn \( a + 2\sqrt{a} \) thành \( \sqrt{a}(\sqrt{a} + 2) \): \[ P = \frac{4\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2)}{6} \] Gộp các phân số này lại, ta có: \[ P = \frac{(4\sqrt{a} + 2)\sqrt{a}}{6(\sqrt{a} - 2)} \] Rút gọn tử số: \[ (4\sqrt{a} + 2)\sqrt{a} = 4a + 2\sqrt{a} \] Do đó: \[ P = \frac{4a + 2\sqrt{a}}{6(\sqrt{a} - 2)} \] Rút gọn phân số: \[ P = \frac{2(2a + \sqrt{a})}{6(\sqrt{a} - 2)} = \frac{2a + \sqrt{a}}{3(\sqrt{a} - 2)} \] b) Tìm giá trị của \( a \) để \( P = -2 \) Ta có: \[ \frac{2a + \sqrt{a}}{3(\sqrt{a} - 2)} = -2 \] Nhân cả hai vế với \( 3(\sqrt{a} - 2) \): \[ 2a + \sqrt{a} = -6(\sqrt{a} - 2) \] Rút gọn: \[ 2a + \sqrt{a} = -6\sqrt{a} + 12 \] Chuyển \( -6\sqrt{a} \) sang vế trái và \( 12 \) sang vế phải: \[ 2a + \sqrt{a} + 6\sqrt{a} = 12 \] Gộp các hạng tử chứa \( \sqrt{a} \): \[ 2a + 7\sqrt{a} = 12 \] Chuyển \( 12 \) sang vế trái: \[ 2a + 7\sqrt{a} - 12 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{a} \), ta có: \[ 2t^2 + 7t - 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ 2t^2 + 7t - 12 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 2t^2 + 7t - 12 = (2t - 3)(t + 4) = 0 \] Do đó: \[ 2t - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad t + 4 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ t = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad t = -4 \] Vì \( t = \sqrt{a} \geq 0 \), nên ta chọn: \[ t = \frac{3}{2} \] Do đó: \[ \sqrt{a} = \frac{3}{2} \] Bình phương cả hai vế: \[ a = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \] Vậy giá trị của \( a \) để \( P = -2 \) là: \[ a = \frac{9}{4} \] Bài tập 3: a) Ta có $P=\frac{3\sqrt x-2}{x-5\sqrt x+6}-\frac1{\sqrt x-2}+\frac{3\sqrt x-2}{3-\sqrt x}$ $=\frac{3\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}-\frac1{\sqrt x-2}+\frac{3\sqrt x-2}{3-\sqrt x}$ $=\frac{3\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}-\frac{\sqrt x-3}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}-\frac{3\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{3\sqrt x-2-(\sqrt x-3)-(3\sqrt x-2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{3\sqrt x-2-\sqrt x+3-3\sqrt x+2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{-\sqrt x+3}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{-\sqrt x+3}{(\sqrt x-2)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{-3\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ Vậy $P=\frac{-3\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ b) Ta có $P=\frac{-3\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ $P>-3$ $\Leftrightarrow \frac{-3\sqrt x+1}{\sqrt x-2}>-3$ $\Leftrightarrow \frac{-3\sqrt x+1}{\sqrt x-2}+\frac{3(\sqrt x-2)}{\sqrt x-2}>0$ $\Leftrightarrow \frac{-3\sqrt x+1+3\sqrt x-6}{\sqrt x-2}>0$ $\Leftrightarrow \frac{-5}{\sqrt x-2}>0$ $\Leftrightarrow \sqrt x-2< 0$ $\Leftrightarrow \sqrt x< 2$ $\Leftrightarrow x< 4$ Vậy $x< 4$ thì $P>-3$ Bài tập 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho biểu thức \( P \). 2. Rút gọn biểu thức \( P \). Bước 1: Đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức \( P \) có chứa phân thức và căn thức, do đó cần đặt điều kiện xác định cho các biến \( x \): - Điều kiện cho căn thức \( \sqrt{x} \): \( x \geq 0 \). - Điều kiện cho mẫu số của các phân thức: \( x - 4 \neq 0 \) và \( \sqrt{x} - 2 \neq 0 \). Từ đó, ta có: \[ x \geq 0 \] \[ x \neq 4 \] Do đó, điều kiện xác định của \( P \) là: \[ x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 4 \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức ban đầu là: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} : \left( \frac{-4}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \] Bước 2.1: Rút gọn phần chia Ta cần rút gọn phần chia: \[ \frac{-4}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \] Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số: \[ \frac{-4}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{-4(\sqrt{x} - 2) + (x - 4)}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] Rút gọn tử số: \[ -4(\sqrt{x} - 2) + (x - 4) = -4\sqrt{x} + 8 + x - 4 = x - 4\sqrt{x} + 4 \] Do đó: \[ \frac{-4}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] Bước 2.2: Kết hợp với phần còn lại của biểu thức \( P \) Bây giờ, ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} : \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Rút gọn: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)(x - 4)(\sqrt{x} - 2)}{(x - 4)(x - 4\sqrt{x} + 4)} \] Hủy bỏ \( x - 4 \) ở tử số và mẫu số: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Bước 2.3: Rút gọn tử số Tử số: \[ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2) = x - 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 6 = x + \sqrt{x} - 6 \] Do đó: \[ P = \frac{x + \sqrt{x} - 6}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Kết luận Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{x + \sqrt{x} - 6}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Điều kiện xác định của \( P \) là: \[ x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 4 \]