viết kết quả xuống dòng dưới cùng giúp mình (chính xác từng bước ngắn gọn )

Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biểu thức logarit. 2. Chuyển đổi và đơn giản hóa bất đẳng thức đã cho. 3. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn bất đẳng thức. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện cho \(\log_4(y)\) là \(y > 0\). - Điều kiện cho \(\log_3(x^2 + y^2)\) là \(x^2 + y^2 > 0\). Do đó, \(y > 0\) và \(x^2 + y^2 > 0\). Bước 2: Chuyển đổi và đơn giản hóa bất đẳng thức Bất đẳng thức ban đầu: \[ \log_4(x^2 + y^2 + 12y) + \log_3(x^2 + y^2) \leq \log_4(y) + \log_3(x^2 + y^2 + 24y) \] Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarit để đơn giản hóa: \[ \log_4(x^2 + y^2 + 12y) - \log_4(y) \leq \log_3(x^2 + y^2 + 24y) - \log_3(x^2 + y^2) \] Áp dụng tính chất \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\): \[ \log_4\left(\frac{x^2 + y^2 + 12y}{y}\right) \leq \log_3\left(\frac{x^2 + y^2 + 24y}{x^2 + y^2}\right) \] Đơn giản hóa các biểu thức bên trong logarit: \[ \log_4\left(\frac{x^2 + y^2 + 12y}{y}\right) = \log_4\left(\frac{x^2 + y^2}{y} + 12\right) \] \[ \log_3\left(\frac{x^2 + y^2 + 24y}{x^2 + y^2}\right) = \log_3\left(1 + \frac{24y}{x^2 + y^2}\right) \] Do đó, bất đẳng thức trở thành: \[ \log_4\left(\frac{x^2 + y^2}{y} + 12\right) \leq \log_3\left(1 + \frac{24y}{x^2 + y^2}\right) \] Bước 3: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn bất đẳng thức Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên của \(y\) và kiểm tra xem \(x\) có thể là gì. Trường hợp \(y = 1\): \[ \log_4\left(\frac{x^2 + 1}{1} + 12\right) \leq \log_3\left(1 + \frac{24 \cdot 1}{x^2 + 1}\right) \] \[ \log_4(x^2 + 13) \leq \log_3\left(1 + \frac{24}{x^2 + 1}\right) \] Kiểm tra các giá trị nguyên của \(x\): - \(x = 0\): \[ \log_4(13) \leq \log_3\left(1 + \frac{24}{1}\right) = \log_3(25) \] Đúng vì \(\log_4(13) < \log_3(25)\). - \(x = 1\): \[ \log_4(14) \leq \log_3\left(1 + \frac{24}{2}\right) = \log_3(13) \] Đúng vì \(\log_4(14) < \log_3(13)\). - \(x = -1\): \[ \log_4(14) \leq \log_3\left(1 + \frac{24}{2}\right) = \log_3(13) \] Đúng vì \(\log_4(14) < \log_3(13)\). Trường hợp \(y = 2\): \[ \log_4\left(\frac{x^2 + 4}{2} + 12\right) \leq \log_3\left(1 + \frac{48}{x^2 + 4}\right) \] \[ \log_4\left(\frac{x^2 + 4}{2} + 12\right) \leq \log_3\left(1 + \frac{48}{x^2 + 4}\right) \] Kiểm tra các giá trị nguyên của \(x\): - \(x = 0\): \[ \log_4(14) \leq \log_3\left(1 + \frac{48}{4}\right) = \log_3(13) \] Đúng vì \(\log_4(14) < \log_3(13)\). - \(x = 1\): \[ \log_4(14.5) \leq \log_3\left(1 + \frac{48}{5}\right) = \log_3(10.6) \] Đúng vì \(\log_4(14.5) < \log_3(10.6)\). - \(x = -1\): \[ \log_4(14.5) \leq \log_3\left(1 + \frac{48}{5}\right) = \log_3(10.6) \] Đúng vì \(\log_4(14.5) < \log_3(10.6)\). Kết luận: Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bất đẳng thức là: \[ (0, 1), (1, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 2), (-1, 2) \] Tổng cộng có 6 cặp số nguyên \((x, y)\).