Chứng minh rằng 1/a+1/b+1/c ≥ 9/(a+b+c)

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba cặp số $(a, b, c)$ và $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$: \[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9. \] Bước 2: Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho $(a + b + c)$ (với điều kiện $a, b, c > 0$): \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}. \] Như vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}. \]