Cho tứ giác `ABCD` `,` `AB` cắt `CD` tại `E` `,` `BC` cắt `AD` tại `F` `.` Các tia phân giác của $\widehat{E}$ và $\widehat{F}$ cắt nhau tại `M` , chứng minh `:` `a)` $\widehat{EIP} $ `=` $\frac{\widehat{ABC} + \widehat{ADC}}{2}$
`b)` Nếu $\widehat{BAD}$ `=` $130^\circ$ và
$\widehat{BCD}$`=` $50^\circ$ thì `IE`$\bot$`IF`

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là các tính chất của tia phân giác và góc trong tứ giác.

a) Chứng minh $\widehat{EIP} = \frac{\widehat{ABC} + \widehat{ADC}}{2}$

1. Xét tứ giác $ABCD$:
   - $AB$ cắt $CD$ tại $E$ và $BC$ cắt $AD$ tại $F$.
   - Các tia phân giác của $\widehat{E}$ và $\widehat{F}$ cắt nhau tại $M$.

2. Tính chất của tia phân giác:
   - Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
   - Do đó, tia phân giác của $\widehat{E}$ chia $\widehat{E}$ thành hai góc bằng nhau, và tương tự cho tia phân giác của $\widehat{F}$.

3. Sử dụng định lý về góc trong tứ giác:
   - Tổng các góc trong tứ giác $ABCD$ là $360^\circ$.
   - Do đó, $\widehat{E} + \widehat{F} + \widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 360^\circ$.

4. Xét điểm $M$:
   - $M$ là giao điểm của các tia phân giác của $\widehat{E}$ và $\widehat{F}$.
   - Theo tính chất của điểm $M$, ta có $\widehat{EIM} = \frac{\widehat{E}}{2}$ và $\widehat{FIM} = \frac{\widehat{F}}{2}$.

5. Tính $\widehat{EIP}$:
   - $\widehat{EIP} = \widehat{EIM} + \widehat{FIM} = \frac{\widehat{E}}{2} + \frac{\widehat{F}}{2}$.
   - Từ phương trình tổng góc trong tứ giác, ta có $\widehat{E} + \widehat{F} = 360^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ADC})$.
   - Do đó, $\frac{\widehat{E}}{2} + \frac{\widehat{F}}{2} = \frac{360^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ADC})}{2}$.
   - Suy ra, $\widehat{EIP} = \frac{360^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ADC})}{2} = \frac{\widehat{ABC} + \widehat{ADC}}{2}$.

b) Chứng minh $IE \bot IF$ khi $\widehat{BAD} = 130^\circ$ và $\widehat{BCD} = 50^\circ$

1. Tính các góc còn lại trong tứ giác:
   - Tổng các góc trong tứ giác $ABCD$ là $360^\circ$.
   - Do đó, $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 360^\circ - (\widehat{BAD} + \widehat{BCD}) = 360^\circ - (130^\circ + 50^\circ) = 180^\circ$.

2. Sử dụng kết quả từ phần a:
   - Từ phần a, ta có $\widehat{EIP} = \frac{\widehat{ABC} + \widehat{ADC}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

3. Kết luận:
   - Vì $\widehat{EIP} = 90^\circ$, nên $IE \bot IF$.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.

Cho tứ giác `ABCD` `,` `AB` cắt `CD` tại `E` `,` `BC` cắt `AD` tại `F` `.` Các tia phân giác của $\widehat{E}$ và $\widehat{F}$ cắt nhau tại `M` , chứng minh `:` `a)` $\widehat{EIP} $ `=`...