Tính số giá trị m nguyên dương.

Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 2. Giải phương trình để tìm nghiệm. 3. Xác định các giá trị nguyên dương của tham số \( m \) sao cho phương trình có nghiệm duy nhất. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình \(\sqrt{2x^2-2x+m} = x + 1\) có nghĩa khi: \[ 2x^2 - 2x + m \geq 0 \] và \[ x + 1 \geq 0 \] Từ \( x + 1 \geq 0 \), suy ra: \[ x \geq -1 \] Bước 2: Giải phương trình Bình phương hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{2x^2-2x+m})^2 = (x+1)^2 \] \[ 2x^2 - 2x + m = x^2 + 2x + 1 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2x^2 - 2x + m - x^2 - 2x - 1 = 0 \] \[ x^2 - 4x + (m - 1) = 0 \] Bước 3: Xác định các giá trị nguyên dương của tham số \( m \) Phương trình \( x^2 - 4x + (m - 1) = 0 \) có nghiệm duy nhất khi biệt thức \( \Delta \) bằng 0: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) \] \[ \Delta = 16 - 4(m - 1) \] \[ \Delta = 16 - 4m + 4 \] \[ \Delta = 20 - 4m \] Yêu cầu \( \Delta = 0 \): \[ 20 - 4m = 0 \] \[ 4m = 20 \] \[ m = 5 \] Vậy, giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để phương trình \(\sqrt{2x^2-2x+m} = x + 1\) có nghiệm duy nhất là \( m = 5 \).