Chọn mệnh đề đúng. Câu 9: Cho phép vị tự tâm I tỉ số $k=2$ biến điểm A thành điểm B, biến điểm C thành điểm D. Mệnh,đề nào sau đây đúng?,$A.~\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}.$ $B.~2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.$ $C.~2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$ $D.~\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BD}.$

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, ta cần hiểu rõ về phép vị tự. Phép vị tự tâm $ I $ với tỉ số $ k = 2 $ có nghĩa là mọi điểm trên mặt phẳng sẽ được biến đổi sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tâm $ I $ sẽ gấp đôi.

Cụ thể, nếu điểm $ A $ biến thành điểm $ B $ và điểm $ C $ biến thành điểm $ D $ qua phép vị tự này, ta có:

1. $\overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{IA}$
2. $\overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IC}$

Bây giờ, ta sẽ phân tích từng mệnh đề:

Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}$

- Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{ID} - \overrightarrow{IC}$.
- Thay vào các biểu thức trên, ta có:
  $$
  \overrightarrow{AB} = (2\overrightarrow{IA}) - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IA}
  $$
  $$
  \overrightarrow{CD} = (2\overrightarrow{IC}) - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IC}
  $$
- Do đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{IC}$, không có mối quan hệ nào giữa $\overrightarrow{AB}$ và $2\overrightarrow{CD}$.

Mệnh đề B: $2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$

- Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{ID} - \overrightarrow{IB}$.
- Thay vào các biểu thức trên, ta có:
  $$
  2\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}) = 2\overrightarrow{IC} - 2\overrightarrow{IA}
  $$
  $$
  \overrightarrow{BD} = (2\overrightarrow{IC}) - (2\overrightarrow{IA}) = 2\overrightarrow{IC} - 2\overrightarrow{IA}
  $$
- Do đó, $2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ là đúng.

Mệnh đề C: $2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

- Tương tự như mệnh đề A, ta có:
  $$
  2\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IA}) = 2\overrightarrow{IA}
  $$
  $$
  \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{IC}
  $$
- Không có mối quan hệ nào giữa $2\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

Mệnh đề D: $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{BD}$

- Tương tự như trên, ta có:
  $$
  \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}
  $$
  $$
  2\overrightarrow{BD} = 2(\overrightarrow{ID} - \overrightarrow{IB}) = 2(2\overrightarrow{IC} - 2\overrightarrow{IA}) = 4\overrightarrow{IC} - 4\overrightarrow{IA}
  $$
- Không có mối quan hệ nào giữa $\overrightarrow{AC}$ và $2\overrightarrow{BD}$.

Kết luận: Mệnh đề đúng là B. $2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$.