Cho tam giác ABC có đường cao AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng EI vuông góc với BC.

Để chứng minh rằng \( EI \) vuông góc với \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác \( \triangle ABC \) với đường cao \( AD \): - \( AD \) là đường cao nên \( AD \perp BC \). 2. Xét điểm \( E \) trên tia đối của tia \( DA \) sao cho \( AE = AD \): - Do \( E \) nằm trên tia đối của tia \( DA \), nên \( E \) và \( D \) nằm về hai phía của điểm \( A \). 3. Xét trung điểm \( I \) của \( BC \): - \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BI = IC \). 4. Chứng minh \( EI \perp BC \): - Xét tam giác \( \triangle AID \) và tam giác \( \triangle AIE \): - Ta có \( AD = AE \) (giả thiết). - \( AI \) là chung. - \( \angle AID = \angle AIE \) (vì \( D \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( A \)). - Do đó, tam giác \( \triangle AID \) và tam giác \( \triangle AIE \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). - Suy ra \( ID = IE \). 5. Kết luận: - Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \) và \( ID = IE \), nên \( E \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( I \). - Do \( AD \perp BC \), nên \( EI \perp BC \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( EI \) vuông góc với \( BC \).