giải giúp em câu này ạ ,Ví dụ 1.4.,Xét tính đơn điệu của các hàm số: $y=f(x)=x+\frac1x,~y=\log_3(x^2-2x).$

Question

giải giúp em câu này ạ <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/1f85d005bf774e9fb6b3d01399d1f83c.jpg />,Ví dụ 1.4.,Xét tính đơn điệu của các hàm số: $y=f(x)=x+\frac1x,~y=\log_3(x^2-2x).$

thiyhuien08 · Accepted Answer

*Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = x + 1/x*

Tập xác định: D = R \ {0}

Đạo hàm: f&#x27;(x) = 1 - 1/x^2

f&#x27;(x) = 0 khi 1 - 1/x^2 = 0
x^2 = 1
x = ±1

Bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | ∞ |
| f&#x27;(x) | -  | 0 | // | 0 | -  |
| f(x) | ↑ |  | // |  | ↑ |
Hàm số đồng biến trên (-∞; -1) và (1; ∞)
Hàm số nghịch biến trên (-1; 0) và (0; 1)

*Xét tính đơn điệu của hàm số y = log(x^2 - 2x)*

Tập xác định: x^2 - 2x > 0
x(x - 2) > 0
x < 0 hoặc x > 2

Đạo hàm: y&#x27; = (2x - 2)/(x^2 - 2x) * ln(10) (giả sử cơ số là 10, nếu cơ số khác thì công thức đạo hàm vẫn tương tự nhưng có thêm hệ số ln(a))

y&#x27; = 0 khi 2x - 2 = 0
x = 1 (không thuộc tập xác định)

Bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | ∞ |
| y&#x27; | -  | // | -  | -  |
| y | ↓ | // | ↓ | ↑ |
Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0)
Hàm số nghịch biến trên (2; ∞) không đúng mà đồng biến trên (2; ∞) vì y&#x27; > 0 khi x > 2.

Vậy, hàm số y = log(x^2 - 2x) nghịch biến trên (-∞; 0) và đồng biến trên (2; ∞).

Timi · Answer

Ví dụ 1: Bài toán: Xét tính đơn điệu của các hàm số: $$ y = f(x) = x + \frac{1}{x}, \quad y = \log_3(x^2 - 2x). $$ Hàm số $ y = f(x) = x + \frac{1}{x} $ 1. Tìm tập xác định: $$ x \neq 0 \implies D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $$ 2. Tính đạo hàm: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm: $$ f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Ta xét các khoảng $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, và $(1, +\infty)$. - Trên khoảng $(-\infty, -1)$: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \quad (\text{vì } x^2 > 1) $$ Hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1, 0)$: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} < 0 \quad (\text{vì } x^2 < 1) $$ Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0, 1)$: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} < 0 \quad (\text{vì } x^2 < 1) $$ Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(1, +\infty)$: $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \quad (\text{vì } x^2 > 1) $$ Hàm số đồng biến. Kết luận: - Hàm số $ y = x + \frac{1}{x} $ đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số $ y = x + \frac{1}{x} $ nghịch biến trên các khoảng $(-1, 0)$ và $(0, 1)$. Hàm số $ y = \log_3(x^2 - 2x) $ 1. Tìm tập xác định: $$ x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) $$ 2. Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( \log_3(x^2 - 2x) \right) = \frac{1}{(x^2 - 2x) \ln 3} \cdot (2x - 2) = \frac{2(x - 1)}{(x^2 - 2x) \ln 3} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm: $$ y' = 0 \implies 2(x - 1) = 0 \implies x = 1 $$ Ta xét các khoảng $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, và $(2, +\infty)$. - Trên khoảng $(-\infty, 0)$: $$ y' = \frac{2(x - 1)}{(x^2 - 2x) \ln 3} > 0 \quad (\text{vì } x - 1 < 0 \text{ và } x^2 - 2x > 0) $$ Hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(0, 2)$: $$ y' = \frac{2(x - 1)}{(x^2 - 2x) \ln 3} < 0 \quad (\text{vì } x - 1 < 0 \text{ và } x^2 - 2x < 0) $$ Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(2, +\infty)$: $$ y' = \frac{2(x - 1)}{(x^2 - 2x) \ln 3} > 0 \quad (\text{vì } x - 1 > 0 \text{ và } x^2 - 2x > 0) $$ Hàm số đồng biến. Kết luận: - Hàm số $ y = \log_3(x^2 - 2x) $ đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$. - Hàm số $ y = \log_3(x^2 - 2x) $ nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$.