Giúp mình với!

Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta cần xem xét các thành phần của vectơ này trong không gian Oxyz. Vectơ \(\overrightarrow{a}\) được cho dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} \] Trong đó: - \(3\overrightarrow{i}\) là thành phần theo trục Ox, có tọa độ là 3. - \(4\overrightarrow{j}\) là thành phần theo trục Oy, có tọa độ là 4. - \(-\overrightarrow{k}\) là thành phần theo trục Oz, có tọa độ là -1. Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((3; 4; -1)\). Do đó, đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{a}(3; 4; -1)\). Câu 2: Để tìm tọa độ của điểm \( A \) trong không gian \( Oxyz \), ta cần xem xét các điều kiện đã cho: 1. Điểm \( A \) nằm trên tia \( Oy \). Điều này có nghĩa là tọa độ của \( A \) có dạng \( (0; y; 0) \), vì điểm nằm trên trục \( Oy \) thì hoành độ và cao độ đều bằng 0. 2. Độ dài \( OA = 3 \). Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta có: \[ OA = \sqrt{(x_A - 0)^2 + (y_A - 0)^2 + (z_A - 0)^2} = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} \] Vì \( A \) có tọa độ dạng \( (0; y; 0) \), nên: \[ OA = \sqrt{0^2 + y^2 + 0^2} = \sqrt{y^2} = |y| \] Do đó, \( |y| = 3 \). 3. Từ \( |y| = 3 \), ta có hai khả năng cho \( y \): \( y = 3 \) hoặc \( y = -3 \). 4. Vì điểm \( A \) nằm trên tia \( Oy \) và tia \( Oy \) là tia dương của trục \( y \), nên \( y \) phải là số dương. Do đó, \( y = 3 \). Vậy tọa độ của điểm \( A \) là \( (0; 3; 0) \). Đáp án đúng là: \( A.~A(0;3;0) \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của điểm \( B' \) trong hình hộp chữ nhật \( OABC.O'A'B'C' \) với các thông tin đã cho. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm đã biết - Điểm \( O \) là gốc tọa độ, nên \( O(0, 0, 0) \). - Điểm \( A \) nằm trên tia \( Ox \) và có độ dài \( OA = 4 \), nên \( A(4, 0, 0) \). - Điểm \( C \) nằm trên tia \( Oz \) và có độ dài \( OC = 6 \), nên \( C(0, 0, 6) \). - Điểm \( O' \) nằm trên tia \( Oy \) và có độ dài \( OO' = 3 \), nên \( O'(0, 3, 0) \). Bước 2: Xác định tọa độ điểm \( B' \) Điểm \( B' \) là đỉnh đối diện với \( O \) trong hình hộp chữ nhật, do đó tọa độ của \( B' \) sẽ là tổng của các tọa độ của các điểm \( A \), \( C \), và \( O' \). - Tọa độ \( x \) của \( B' \) là tổng của tọa độ \( x \) của \( A \), \( C \), và \( O' \): \( 4 + 0 + 0 = 4 \). - Tọa độ \( y \) của \( B' \) là tổng của tọa độ \( y \) của \( A \), \( C \), và \( O' \): \( 0 + 0 + 3 = 3 \). - Tọa độ \( z \) của \( B' \) là tổng của tọa độ \( z \) của \( A \), \( C \), và \( O' \): \( 0 + 6 + 0 = 6 \). Vậy tọa độ của điểm \( B' \) là \( B'(4, 3, 6) \). Kết luận Đáp án đúng là \( D.~B'(4, 3, 6) \). Câu 4: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(O\) và điểm \(A\). - Điểm \(O\) là gốc tọa độ trong không gian \(Oxyz\), nên tọa độ của \(O\) là \((0; 0; 0)\). - Điểm \(A\) có tọa độ \((3; -4; 0)\). Vectơ \(\overrightarrow{OA}\) được xác định bằng cách lấy tọa độ của điểm \(A\) trừ đi tọa độ của điểm \(O\). Cụ thể: \[ \overrightarrow{OA} = (3 - 0; -4 - 0; 0 - 0) = (3; -4; 0) \] Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\) là \((3; -4; 0)\). Vậy đáp án đúng là \(B.~(3;-4;0)\). Câu 5: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần biểu diễn vector \(\overrightarrow{a} = (0; -3; 2)\) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{k}\). Vector \(\overrightarrow{a} = (0; -3; 2)\) có thể được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = 0\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k} \] Bây giờ, ta sẽ so sánh với các mệnh đề đã cho: - Mệnh đề A: \(\overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\) Biểu diễn này không đúng vì thành phần theo \(\overrightarrow{i}\) là 0, không phải -3, và thành phần theo \(\overrightarrow{j}\) là -3, không phải 2. - Mệnh đề B: \(\overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\) Biểu diễn này không đúng vì thành phần theo \(\overrightarrow{i}\) là 0, không phải -3, và thành phần theo \(\overrightarrow{j}\) là -3, không phải 2. Thành phần theo \(\overrightarrow{k}\) là 2, không phải 1. - Mệnh đề C: \(\overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}\) Biểu diễn này đúng vì thành phần theo \(\overrightarrow{j}\) là -3 và thành phần theo \(\overrightarrow{k}\) là 2, đúng với vector \(\overrightarrow{a}\). - Mệnh đề D: \(\overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}\) Biểu diễn này không đúng vì thành phần theo \(\overrightarrow{i}\) là 0, không phải -3, và thành phần theo \(\overrightarrow{j}\) không có, trong khi \(\overrightarrow{a}\) có thành phần -3 theo \(\overrightarrow{j}\). Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề C: \(\overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}\). Câu 6: Để xác định vectơ đơn vị trên trục Oy trong không gian Oxyz, ta cần hiểu rằng vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1 và chỉ theo hướng của trục Oy. Trong không gian Oxyz, trục Oy là trục thẳng đứng theo hướng của trục y. Vectơ đơn vị trên trục Oy có dạng: \[ \overrightarrow{j} = (0, 1, 0) \] Lý do là vì: - Thành phần x của vectơ là 0, vì vectơ không có thành phần nào theo hướng trục Ox. - Thành phần y của vectơ là 1, vì vectơ chỉ theo hướng trục Oy và có độ dài bằng 1. - Thành phần z của vectơ là 0, vì vectơ không có thành phần nào theo hướng trục Oz. Do đó, vectơ đơn vị trên trục Oy là \(\overrightarrow{j} = (0, 1, 0)\). Vậy đáp án đúng là A. \(\overrightarrow{j} = (0, 1, 0)\). Câu 7: Để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{OA}\) theo các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\), ta cần xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\). Cho điểm \(A(2; -2; 3)\), vectơ \(\overrightarrow{OA}\) có tọa độ là \((2, -2, 3)\). Điều này có nghĩa là: - Thành phần theo trục \(x\) là 2, tương ứng với \(2\overrightarrow{i}\). - Thành phần theo trục \(y\) là -2, tương ứng với \(-2\overrightarrow{j}\). - Thành phần theo trục \(z\) là 3, tương ứng với \(3\overrightarrow{k}\). Do đó, vectơ \(\overrightarrow{OA}\) được biểu diễn theo các vectơ đơn vị là: \[ \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Vậy đáp án đúng là A. \(\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}\). Câu 8: Để xác định tọa độ điểm \( A \) biết \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{u}\), ta cần hiểu rằng \(\overrightarrow{OA}\) là vector có điểm đầu tại gốc tọa độ \( O(0,0,0) \) và điểm cuối tại \( A(x,y,z) \). Vector \(\overrightarrow{u} = (1,0,-2)\) có tọa độ là \((1,0,-2)\). Điều này có nghĩa là: - Hoành độ của điểm \( A \) là \( x = 1 \). - Tung độ của điểm \( A \) là \( y = 0 \). - Cao độ của điểm \( A \) là \( z = -2 \). Vậy tọa độ của điểm \( A \) là \( A(1,0,-2) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~A(1;0;-2) \). Câu 9: Để tìm tọa độ điểm \( M \) của hình chữ nhật \( OKMN \), ta cần xem xét các đặc điểm của hình chữ nhật trong không gian. 1. Tọa độ các điểm đã biết: - \( O(0;0;0) \) - \( K(0;0;2) \) - \( N(1;2;0) \) 2. Đặc điểm của hình chữ nhật: - \( OK \) và \( MN \) là các cạnh song song và bằng nhau. - \( ON \) và \( KM \) là các cạnh song song và bằng nhau. 3. Tính toán tọa độ điểm \( M \): - Vì \( OK \parallel MN \) và \( OK = MN \): - Vector \( \overrightarrow{OK} = (0, 0, 2) \) - Vector \( \overrightarrow{MN} = (x_M - 1, y_M - 2, z_M - 0) \) - Do \( \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{MN} \), ta có: \[ \begin{cases} x_M - 1 = 0 \\ y_M - 2 = 0 \\ z_M = 2 \end{cases} \] - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_M = 1 \\ y_M = 2 \\ z_M = 2 \end{cases} \] - Tọa độ điểm \( M \) là \( (1, 2, 2) \). Vậy đáp án đúng là \( A.~M(1;2;2) \). Câu 10: Để tìm tọa độ của điểm \( M \) trong không gian \( Oxyz \), ta cần phân tích hệ thức \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}\). Trong không gian \( Oxyz \), vector \(\overrightarrow{OM}\) có tọa độ là \((x, y, z)\), trong đó \( x, y, z \) lần lượt là tọa độ của điểm \( M \). Hệ thức \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}\) cho ta biết: - Thành phần theo trục \( x \) là \( 1 \), do đó \( x = 1 \). - Thành phần theo trục \( y \) là \( -5 \), do đó \( y = -5 \). - Thành phần theo trục \( z \) là \( 2 \), do đó \( z = 2 \). Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( (1, -5, 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{D.~M(1;-5;2)} \).