cho tam giác ABC cân tại A , các đường phân giác BD, CE ( D thuộc AC. E thuộc AB ). chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên

Để chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố của tam giác cân: Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\). 2. Xét các đường phân giác: - \(BD\) là đường phân giác của góc \(ABC\), do đó \(\angle ABD = \angle CBD\). - \(CE\) là đường phân giác của góc \(ACB\), do đó \(\angle ACE = \angle BCE\). 3. Chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang: - Ta cần chứng minh rằng \(BD\) song song với \(CE\). - Do \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác của các góc \(\angle ABC\) và \(\angle ACB\) trong tam giác cân \(ABC\), nên \(\angle ABD = \angle ACE\) và \(\angle CBD = \angle BCE\). - Từ đó, ta có \(\angle ABD + \angle CBD = \angle ACE + \angle BCE = \angle ABC = \angle ACB\). - Do đó, hai góc \(\angle ABD\) và \(\angle ACE\) là hai góc đồng vị, nên \(BD \parallel CE\). 4. Chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân: - Ta đã có \(BD \parallel CE\), do đó \(BEDC\) là hình thang. - Trong tam giác cân \(ABC\), do \(AB = AC\), nên \(\angle ABC = \angle ACB\). - Vì \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác, nên \(\angle ABD = \angle ACE\) và \(\angle CBD = \angle BCE\). - Do đó, \(\angle BDC = \angle CEB\), chứng tỏ rằng hai góc ở đáy của hình thang \(BEDC\) bằng nhau, nên \(BEDC\) là hình thang cân. 5. Chứng minh đáy nhỏ bằng cạnh bên: - Trong tam giác cân \(ABC\), ta có \(AB = AC\). - Do \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác, nên \(BE = CD\). - Vì \(BEDC\) là hình thang cân, nên \(BE = CD\) là các cạnh bên và cũng là đáy nhỏ của hình thang. Kết luận: Tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.