Câu hỏi: Cho tam giác ABC có AB=AC, đường cao AH=6 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=2 cm, MC=4 cm. Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên N là hình chiếu vuông góc của M trên AC. T...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính độ dài \( BC \) và \( AM \) Tính độ dài \( BC \): Vì \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) và \( BM = 2 \) cm, \( MC = 4 \) cm, nên độ dài \( BC \) là tổng của \( BM \) và \( MC \): \[ BC = BM + MC = 2 + 4 = 6 \text{ cm} \] Tính độ dài \( AM \): Vì \( AH \) là đường cao của tam giác cân \( \triangle ABC \) với \( AB = AC \), nên \( H \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, \( BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABH \): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Vì \( AB = AC \), ta có: \[ AB^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \] Do đó, \( AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm} \). Để tính \( AM \), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle AMH \): \[ AM^2 = AH^2 + MH^2 \] Với \( MH = BM - BH = 2 - 3 = -1 \text{ cm} \) (lấy giá trị tuyệt đối vì độ dài không âm), ta có: \[ AM^2 = 6^2 + (-1)^2 = 36 + 1 = 37 \] Do đó, \( AM = \sqrt{37} \text{ cm} \). 2. Tính diện tích tứ giác \( AKMN \) Để tính diện tích tứ giác \( AKMN \), ta cần tính diện tích của hai tam giác \( \triangle AKM \) và \( \triangle AMN \). Diện tích \( \triangle AKM \): Vì \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( AB \), nên \( MK \) là đường cao của tam giác \( \triangle AKM \). Do đó, diện tích \( \triangle AKM \) là: \[ S_{AKM} = \frac{1}{2} \times AK \times MK \] Diện tích \( \triangle AMN \): Tương tự, \( N \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( AC \), nên \( MN \) là đường cao của tam giác \( \triangle AMN \). Do đó, diện tích \( \triangle AMN \) là: \[ S_{AMN} = \frac{1}{2} \times AN \times MN \] Tổng diện tích tứ giác \( AKMN \) là: \[ S_{AKMN} = S_{AKM} + S_{AMN} \] 3. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác \( ABC \) quanh đường cao \( AH \) Khi quay tam giác \( ABC \) quanh đường cao \( AH \), ta thu được một khối nón có: - Chiều cao \( h = AH = 6 \text{ cm} \) - Bán kính đáy \( r = BH = 3 \text{ cm} \) Thể tích khối nón được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (6) = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 6 = 18\pi \text{ cm}^3 \] Vậy, thể tích khối tròn xoay thu được là \( 18\pi \text{ cm}^3 \).