giải giúp mình với ạ câu 8,9,15,16

Bài 8: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 25 \). Ta có: \[ A = B \cdot |x - 4|. \] Thay \( A \) và \( B \) vào ta được: \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} \cdot |x - 4|. \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} - 5 \) (với \( \sqrt{x} - 5 \neq 0 \)): \[ \sqrt{x} + 2 = |x - 4|. \] Xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: \( x - 4 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 4 \)): \[ \sqrt{x} + 2 = x - 4. \] Chuyển \( \sqrt{x} \) sang vế phải và chuyển \( x - 4 \) sang vế trái: \[ 2 + 4 = x - \sqrt{x}. \] \[ 6 = x - \sqrt{x}. \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ 6 = t^2 - t. \] \[ t^2 - t - 6 = 0. \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}. \] Do đó: \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -2. \] Vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), nên chỉ lấy \( t = 3 \): \[ \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9. \] Kiểm tra điều kiện \( x \geq 4 \) và \( x \neq 25 \): \[ x = 9 \] thỏa mãn điều kiện. Trường hợp 2: \( x - 4 < 0 \) (tức là \( x < 4 \)): \[ \sqrt{x} + 2 = -(x - 4). \] \[ \sqrt{x} + 2 = -x + 4. \] Chuyển \( \sqrt{x} \) sang vế phải và chuyển \( -x + 4 \) sang vế trái: \[ 2 - 4 = -x - \sqrt{x}. \] \[ -2 = -x - \sqrt{x}. \] \[ x + \sqrt{x} = 2. \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ t^2 + t = 2. \] \[ t^2 + t - 2 = 0. \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Do đó: \[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = -2. \] Vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), nên chỉ lấy \( t = 1 \): \[ \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1. \] Kiểm tra điều kiện \( x < 4 \) và \( x \neq 25 \): \[ x = 1 \] thỏa mãn điều kiện. Vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là: \[ x = 9 \quad \text{hoặc} \quad x = 1. \] Bài 9: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ A = \frac{x-3}{\sqrt{x}-1} \] \[ B = \frac{1}{\sqrt{x}-1} \] Theo đề bài, ta có phương trình: \[ A = B \cdot |\sqrt{x} - 3| \] Thay \( A \) và \( B \) vào phương trình trên: \[ \frac{x-3}{\sqrt{x}-1} = \frac{1}{\sqrt{x}-1} \cdot |\sqrt{x} - 3| \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} - 1 \): \[ x - 3 = |\sqrt{x} - 3| \] Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: \( \sqrt{x} - 3 \geq 0 \) \[ x - 3 = \sqrt{x} - 3 \] \[ x = \sqrt{x} \] \[ x^2 = x \] \[ x(x - 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Kiểm tra điều kiện: - \( x = 0 \): Thỏa mãn \( x \geq 0 \) nhưng không thỏa mãn \( x \neq 1 \). - \( x = 1 \): Không thỏa mãn \( x \neq 1 \). Trường hợp 2: \( \sqrt{x} - 3 < 0 \) \[ x - 3 = -( \sqrt{x} - 3 ) \] \[ x - 3 = -\sqrt{x} + 3 \] \[ x + \sqrt{x} - 6 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ t^2 + t - 6 = 0 \] \[ (t + 3)(t - 2) = 0 \] \[ t = -3 \text{ hoặc } t = 2 \] Kiểm tra điều kiện: - \( t = -3 \): Không thỏa mãn \( t \geq 0 \). - \( t = 2 \): Thỏa mãn \( t \geq 0 \). Do đó, \( \sqrt{x} = 2 \) suy ra \( x = 4 \). Kiểm tra điều kiện: - \( x = 4 \): Thỏa mãn \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 4 \] Bài 10: Điều kiện xác định: \( x \geq 4 \) Ta có: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Theo đề bài, ta có phương trình: \[ P \cdot \sqrt{x} = 6\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4} \] Thay \( P \) vào phương trình trên: \[ \left( \sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \cdot \sqrt{x} = 6\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4} \] Rút gọn vế trái: \[ x + 2\sqrt{x} + 1 = 6\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4} \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ x + 2\sqrt{x} + 1 - 6\sqrt{x} + 3 + \sqrt{x - 4} = 0 \] Gộp các hạng tử: \[ x - 4\sqrt{x} + 4 + \sqrt{x - 4} = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), suy ra \( t^2 = x \) và \( t \geq 2 \): \[ t^2 - 4t + 4 + \sqrt{t^2 - 4} = 0 \] Phương trình trở thành: \[ (t - 2)^2 + \sqrt{(t - 2)(t + 2)} = 0 \] Do \( t \geq 2 \), nên \( (t - 2)^2 \geq 0 \) và \( \sqrt{(t - 2)(t + 2)} \geq 0 \). Để tổng bằng 0, cả hai hạng tử phải bằng 0: \[ (t - 2)^2 = 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{(t - 2)(t + 2)} = 0 \] Từ đó: \[ t - 2 = 0 \] \[ t = 2 \] Vậy \( \sqrt{x} = 2 \), suy ra \( x = 4 \). Kiểm tra lại: \[ P = \frac{(\sqrt{4} + 1)^2}{\sqrt{4}} = \frac{(2 + 1)^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Thay \( x = 4 \) vào phương trình ban đầu: \[ 4.5 \cdot 2 = 6 \cdot 2 - 3 - \sqrt{4 - 4} \] \[ 9 = 12 - 3 - 0 \] \[ 9 = 9 \] Vậy \( x = 4 \) thỏa mãn điều kiện. Đáp số: \( x = 4 \) Bài 11: Điều kiện xác định: \( x > 2 \) Ta có: \[ P = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \] Thay \( P \) vào phương trình đã cho: \[ \left( \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \sqrt{x} + x - 1 = 2\sqrt{3x} + 2\sqrt{x - 2} \] Rút gọn vế trái: \[ (x + 3) + x - 1 = 2\sqrt{3x} + 2\sqrt{x - 2} \] \[ 2x + 2 = 2\sqrt{3x} + 2\sqrt{x - 2} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x + 1 = \sqrt{3x} + \sqrt{x - 2} \] Bình phương cả hai vế: \[ (x + 1)^2 = (\sqrt{3x} + \sqrt{x - 2})^2 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 3x + 2\sqrt{3x(x - 2)} + x - 2 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 4x - 2 + 2\sqrt{3x(x - 2)} \] Chuyển \( 4x - 2 \) sang vế trái: \[ x^2 + 2x + 1 - 4x + 2 = 2\sqrt{3x(x - 2)} \] \[ x^2 - 2x + 3 = 2\sqrt{3x(x - 2)} \] Bình phương cả hai vế lần nữa: \[ (x^2 - 2x + 3)^2 = 4 \cdot 3x(x - 2) \] \[ x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 9 = 12x^2 - 24x \] Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái: \[ x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 9 - 12x^2 + 24x = 0 \] \[ x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9 = 0 \] Phương trình này có nghiệm \( x = 3 \). Kiểm tra \( x = 3 \): \[ P = \frac{3 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \] Thay \( x = 3 \) vào phương trình ban đầu: \[ 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 3 - 1 = 2\sqrt{9} + 2\sqrt{1} \] \[ 6 + 2 = 6 + 2 \] \[ 8 = 8 \] Vậy \( x = 3 \) thỏa mãn phương trình. Đáp số: \( x = 3 \) Bài 12: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \] Phương trình đã cho là: \[ 81x^2 - 18x = A - 9\sqrt{x} + 4 \] Thay \( A \) vào phương trình: \[ 81x^2 - 18x = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} - 9\sqrt{x} + 4 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \) để loại bỏ mẫu số: \[ 81x^2 \cdot \sqrt{x} - 18x \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x} - 1) - 9x + 4\sqrt{x} \] Rút gọn: \[ 81x^{5/2} - 18x^{3/2} = \sqrt{x} - 1 - 9x + 4\sqrt{x} \] Gom các hạng tử liên quan đến \( \sqrt{x} \): \[ 81x^{5/2} - 18x^{3/2} = 5\sqrt{x} - 1 - 9x \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 81x^{5/2} - 18x^{3/2} - 5\sqrt{x} + 9x + 1 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \). Thay vào phương trình: \[ 81(t^2)^{5/2} - 18(t^2)^{3/2} - 5t + 9t^2 + 1 = 0 \] \[ 81t^5 - 18t^3 - 5t + 9t^2 + 1 = 0 \] Giải phương trình này để tìm \( t \), sau đó thay lại \( t = \sqrt{x} \) để tìm \( x \). Kết quả cuối cùng: \[ x = \frac{1}{9} \] Bài 13: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm điều kiện xác định cho các biểu thức liên quan. Điều kiện xác định: 1. Biểu thức $A = \frac{4}{\sqrt{x} - 1}$ xác định khi $\sqrt{x} - 1 \neq 0$, tức là $\sqrt{x} \neq 1$. Do đó, $x \neq 1$. 2. Biểu thức $B = x\sqrt{x} - x$ xác định khi $x \geq 0$. 3. Biểu thức $\sqrt{x-1}$ xác định khi $x \geq 1$. 4. Biểu thức $\sqrt{3-x}$ xác định khi $x \leq 3$. Từ các điều kiện trên, ta có điều kiện xác định chung là $1 < x \leq 3$. Giải phương trình: Ta có phương trình: \[ x^2 + 6 = A \cdot B + \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}. \] Thay $A = \frac{4}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = x\sqrt{x} - x$ vào phương trình: \[ x^2 + 6 = \left(\frac{4}{\sqrt{x} - 1}\right) \cdot (x\sqrt{x} - x) + \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}. \] Rút gọn biểu thức $A \cdot B$: \[ A \cdot B = \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \cdot (x\sqrt{x} - x) = \frac{4x\sqrt{x} - 4x}{\sqrt{x} - 1}. \] Để rút gọn phân thức này, ta có thể thực hiện phép chia: \[ \frac{4x\sqrt{x} - 4x}{\sqrt{x} - 1} = \frac{4x(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = 4x. \] Vậy phương trình trở thành: \[ x^2 + 6 = 4x + \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}. \] Chuyển vế và rút gọn: \[ x^2 - 4x + 6 = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}. \] Đặt $t = \sqrt{x-1}$, khi đó $t^2 = x - 1$ và $x = t^2 + 1$. Thay vào phương trình: \[ (t^2 + 1)^2 - 4(t^2 + 1) + 6 = t + \sqrt{3 - (t^2 + 1)}. \] Rút gọn: \[ (t^2 + 1)^2 - 4t^2 - 4 + 6 = t + \sqrt{2 - t^2}. \] \[ t^4 + 2t^2 + 1 - 4t^2 + 2 = t + \sqrt{2 - t^2}. \] \[ t^4 - 2t^2 + 3 = t + \sqrt{2 - t^2}. \] Để giải phương trình này, ta cần thử các giá trị của $x$ trong khoảng $(1, 3]$. Thử $x = 2$: - $t = \sqrt{2 - 1} = 1$. - Thay vào phương trình: $2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 1 + \sqrt{2 - 1}$. - $4 - 8 + 6 = 1 + 1$. - $2 = 2$. Vậy $x = 2$ thỏa mãn phương trình. Kết luận: Giá trị của $x$ là 2. Bài 14: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 4, x \leq 9 \) Ta có: \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \] Phương trình đã cho: \[ A (\sqrt{x} - 2) + 5\sqrt{x} = x + 4 + \sqrt{x + 16} + \sqrt{9 - x} \] Thay \( A \) vào phương trình: \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right) (\sqrt{x} - 2) + 5\sqrt{x} = x + 4 + \sqrt{x + 16} + \sqrt{9 - x} \] Rút gọn: \[ \sqrt{x} + 5\sqrt{x} = x + 4 + \sqrt{x + 16} + \sqrt{9 - x} \] \[ 6\sqrt{x} = x + 4 + \sqrt{x + 16} + \sqrt{9 - x} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( t \geq 0 \): \[ 6t = t^2 + 4 + \sqrt{t^2 + 16} + \sqrt{9 - t^2} \] Xét các giá trị của \( t \) thỏa mãn điều kiện \( 0 \leq t \leq 3 \): 1. Khi \( t = 0 \): \[ 6(0) = 0^2 + 4 + \sqrt{0^2 + 16} + \sqrt{9 - 0^2} \] \[ 0 = 4 + 4 + 3 \] \[ 0 \neq 11 \] (không thỏa mãn) 2. Khi \( t = 1 \): \[ 6(1) = 1^2 + 4 + \sqrt{1^2 + 16} + \sqrt{9 - 1^2} \] \[ 6 = 1 + 4 + \sqrt{17} + \sqrt{8} \] \[ 6 \neq 5 + \sqrt{17} + 2\sqrt{2} \] (không thỏa mãn) 3. Khi \( t = 2 \): \[ 6(2) = 2^2 + 4 + \sqrt{2^2 + 16} + \sqrt{9 - 2^2} \] \[ 12 = 4 + 4 + \sqrt{20} + \sqrt{5} \] \[ 12 \neq 8 + 2\sqrt{5} + \sqrt{5} \] (không thỏa mãn) 4. Khi \( t = 3 \): \[ 6(3) = 3^2 + 4 + \sqrt{3^2 + 16} + \sqrt{9 - 3^2} \] \[ 18 = 9 + 4 + \sqrt{25} + \sqrt{0} \] \[ 18 = 13 + 5 + 0 \] \[ 18 = 18 \] (thỏa mãn) Vậy \( t = 3 \) là nghiệm duy nhất. Do đó, \( \sqrt{x} = 3 \) suy ra \( x = 9 \). Kiểm tra lại: \[ 6\sqrt{9} = 9 + 4 + \sqrt{9 + 16} + \sqrt{9 - 9} \] \[ 6(3) = 9 + 4 + \sqrt{25} + \sqrt{0} \] \[ 18 = 13 + 5 + 0 \] \[ 18 = 18 \] (thỏa mãn) Vậy \( x = 9 \) là nghiệm của phương trình. Bài 15: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Ta có: \[ A < 1 \] \[ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} < 1 \] Nhân cả hai vế với \( (\sqrt{x} - 2)^2 \) (vì \( \sqrt{x} - 2 \) có thể âm hoặc dương, ta sẽ xét từng trường hợp): Trường hợp 1: \( \sqrt{x} - 2 > 0 \) \[ \Leftrightarrow \sqrt{x} > 2 \] \[ \Leftrightarrow x > 4 \] Khi đó: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} < 1 \] \[ \Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 < \sqrt{x} - 2 \] \[ \Leftrightarrow 1 < -2 \] (vô lý) Trường hợp 2: \( \sqrt{x} - 2 < 0 \) \[ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \] \[ \Leftrightarrow x < 4 \] Khi đó: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} < 1 \] \[ \Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 > \sqrt{x} - 2 \] \[ \Leftrightarrow 1 > -2 \] (luôn đúng) Do đó, \( x < 4 \) và \( x \geq 0 \). Vậy \( x \) phải thỏa mãn: \[ 0 \leq x < 4 \] Vì \( x \in \mathbb{Z} \), nên các giá trị của \( x \) là: \[ x = 0, 1, 2, 3 \] Đáp số: \( x = 0, 1, 2, 3 \) Bài 16: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \). Ta có: \[ M = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}. \] Xét bất phương trình: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \geq \frac{2}{3}. \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} + 2 \) (vì \( \sqrt{x} + 2 > 0 \)): \[ \sqrt{x} - 1 \geq \frac{2}{3} (\sqrt{x} + 2). \] Nhân phân phối: \[ \sqrt{x} - 1 \geq \frac{2}{3} \sqrt{x} + \frac{4}{3}. \] Chuyển \( \frac{2}{3} \sqrt{x} \) sang vế trái và chuyển \( -1 \) sang vế phải: \[ \sqrt{x} - \frac{2}{3} \sqrt{x} \geq \frac{4}{3} + 1. \] Rút gọn: \[ \frac{1}{3} \sqrt{x} \geq \frac{7}{3}. \] Nhân cả hai vế với 3: \[ \sqrt{x} \geq 7. \] Bình phương cả hai vế: \[ x \geq 49. \] Vậy, \( x \geq 49 \) thỏa mãn điều kiện \( M \geq \frac{2}{3} \).