Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Ta sẽ chứng minh từng phần của bất đẳng thức. Phần đầu tiên: \[1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b}\] Xét tổng: \[S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b}\] Ta thấy rằng: \[\frac{a}{a+b+c} > \frac{a}{a+b+c+d}, \quad \frac{b}{b+c+d} > \frac{b}{a+b+c+d}, \quad \frac{c}{c+d+a} > \frac{c}{a+b+c+d}, \quad \frac{d}{d+a+b} > \frac{d}{a+b+c+d}\] Cộng lại ta có: \[S > \frac{a}{a+b+c+d} + \frac{b}{a+b+c+d} + \frac{c}{a+b+c+d} + \frac{d}{a+b+c+d} = \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d} = 1\] Vậy: \[1 < S\] Phần thứ hai: \[\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2\] Xét tổng: \[S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b}\] Ta thấy rằng: \[\frac{a}{a+b+c} < \frac{a+d}{a+b+c+d}, \quad \frac{b}{b+c+d} < \frac{b+a}{a+b+c+d}, \quad \frac{c}{c+d+a} < \frac{c+b}{a+b+c+d}, \quad \frac{d}{d+a+b} < \frac{d+c}{a+b+c+d}\] Cộng lại ta có: \[S < \frac{a+d}{a+b+c+d} + \frac{b+a}{a+b+c+d} + \frac{c+b}{a+b+c+d} + \frac{d+c}{a+b+c+d} = \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d} = 2\] Vậy: \[S < 2\] Kết hợp hai phần trên, ta có: \[1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2\] Điều này hoàn tất việc chứng minh.