Giúp mình với!

Câu 1: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\), ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). Cho hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} = (1; 3; -2) \] \[ \overrightarrow{v} = (2; 1; -1) \] Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\) được tính như sau: - Thành phần thứ nhất: \(1 - 2 = -1\) - Thành phần thứ hai: \(3 - 1 = 2\) - Thành phần thứ ba: \(-2 - (-1) = -2 + 1 = -1\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\) là \((-1; 2; -1)\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~(-1; 2; -1)\). Câu 2: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhân các vectơ với hệ số tương ứng: - \(2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (2; -3; 3) = (4; -6; 6)\). - \(3\overrightarrow{b} = 3 \cdot (0; 2; -1) = (0; 6; -3)\). - \(-2\overrightarrow{c} = -2 \cdot (3; -1; 5) = (-6; 2; -10)\). 2. Cộng các vectơ đã nhân: \[ \overrightarrow{u} = (4; -6; 6) + (0; 6; -3) + (-6; 2; -10) \] 3. Tính từng thành phần của vectơ \(\overrightarrow{u}\): - Thành phần \(x\): \(4 + 0 - 6 = -2\). - Thành phần \(y\): \(-6 + 6 + 2 = 2\). - Thành phần \(z\): \(6 - 3 - 10 = -7\). Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \((-2; 2; -7)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(-2; 2; -7)\). Câu 3: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (3; 0; -1)\) và \(\overrightarrow{v} = (2; 1; 0)\), ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Trong đó, \(\overrightarrow{u} = (x_1; y_1; z_1) = (3; 0; -1)\) và \(\overrightarrow{v} = (x_2; y_2; z_2) = (2; 1; 0)\). Áp dụng công thức, ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \] Tính từng phần: - \(3 \cdot 2 = 6\) - \(0 \cdot 1 = 0\) - \((-1) \cdot 0 = 0\) Cộng các kết quả lại: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 + 0 + 0 = 6 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là 6. Do đó, đáp án đúng là C. 6. Câu 4: Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính trung điểm của đoạn thẳng trong không gian ba chiều. Nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là hai điểm trong không gian, thì tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) được tính theo công thức: \[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \( A(1, 1, 2) \) và \( B(3, 1, 0) \): - Tọa độ \( x \) của trung điểm \( M \) là: \[ \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] - Tọa độ \( y \) của trung điểm \( M \) là: \[ \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] - Tọa độ \( z \) của trung điểm \( M \) là: \[ \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) là \( M(2, 1, 1) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(2;1;1) \). Câu 5: Để tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a} = (4; -3; 1)\), ta sử dụng công thức tính độ dài của vectơ trong không gian ba chiều: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Trong đó, \(x\), \(y\), \(z\) lần lượt là các thành phần của vectơ \(\overrightarrow{a}\). Áp dụng công thức trên cho vectơ \(\overrightarrow{a} = (4; -3; 1)\), ta có: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} \] Tính từng bình phương: - \(4^2 = 16\) - \((-3)^2 = 9\) - \(1^2 = 1\) Cộng các giá trị này lại: \[ 16 + 9 + 1 = 26 \] Do đó, độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{26} \] Vậy, đáp án đúng là \(D.~\sqrt{26}.\) Câu 6: Để tìm tọa độ của trọng tâm \( G \) của tứ giác \( AMNP \), ta cần biết tọa độ của các điểm \( A, M, N, P \). Giả sử tọa độ của điểm \( A \) là \( (x_A, y_A, z_A) \). Trọng tâm \( G \) của tứ giác \( AMNP \) được tính bằng công thức: \[ G \left( \frac{x_A + x_M + x_N + x_P}{4}, \frac{y_A + y_M + y_N + y_P}{4}, \frac{z_A + z_M + z_N + z_P}{4} \right) \] Với các tọa độ đã cho: - \( M(0;2;1) \) - \( N(-1;-2;3) \) - \( P(1;3;2) \) Giả sử tọa độ của \( A \) là \( (x_A, y_A, z_A) \). Tọa độ của trọng tâm \( G \) là: \[ G \left( \frac{x_A + 0 - 1 + 1}{4}, \frac{y_A + 2 - 2 + 3}{4}, \frac{z_A + 1 + 3 + 2}{4} \right) \] Tọa độ của trọng tâm \( G \) là: \[ G \left( \frac{x_A}{4}, \frac{y_A + 3}{4}, \frac{z_A + 6}{4} \right) \] Để tìm tọa độ của \( A \), ta cần so sánh với các đáp án đã cho. Ta thử từng đáp án: 1. \( A(0;1;2) \): \[ G \left( \frac{0}{4}, \frac{1 + 3}{4}, \frac{2 + 6}{4} \right) = G \left( 0, \frac{4}{4}, \frac{8}{4} \right) = G(0, 1, 2) \] 2. \( A(0;3;6) \): \[ G \left( \frac{0}{4}, \frac{3 + 3}{4}, \frac{6 + 6}{4} \right) = G \left( 0, \frac{6}{4}, \frac{12}{4} \right) = G(0, \frac{3}{2}, 3) \] 3. \( A(0;\frac{3}{2};3) \): \[ G \left( \frac{0}{4}, \frac{\frac{3}{2} + 3}{4}, \frac{3 + 6}{4} \right) = G \left( 0, \frac{\frac{9}{2}}{4}, \frac{9}{4} \right) = G(0, \frac{9}{8}, \frac{9}{4}) \] 4. \( A(0;-1;-2) \): \[ G \left( \frac{0}{4}, \frac{-1 + 3}{4}, \frac{-2 + 6}{4} \right) = G \left( 0, \frac{2}{4}, \frac{4}{4} \right) = G(0, \frac{1}{2}, 1) \] Từ các phép tính trên, ta thấy rằng chỉ có đáp án \( A(0;1;2) \) cho kết quả đúng với tọa độ trọng tâm \( G(0, 1, 2) \). Vậy, đáp án đúng là \( A. (0;1;2) \). Câu 7: Để tìm tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{u}$, ta cần nhân từng thành phần của vectơ $\overrightarrow{u}$ với $-3$. Vectơ $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $(1; -1; 3)$. Khi nhân với $-3$, ta thực hiện như sau: 1. Thành phần thứ nhất: $1 \times (-3) = -3$. 2. Thành phần thứ hai: $-1 \times (-3) = 3$. 3. Thành phần thứ ba: $3 \times (-3) = -9$. Vậy tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{u}$ là $(-3; 3; -9)$. Do đó, đáp án đúng là $D.~(-3; 3; -9)$. Câu 8: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MN}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(M(x_1, y_1, z_1)\) và \(N(x_2, y_2, z_2)\): \[ \overrightarrow{MN} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \(M(2, -3, 1)\) và \(N(4, 1, -2)\): - Tọa độ \(x\) của \(\overrightarrow{MN}\) là: \(x_2 - x_1 = 4 - 2 = 2\) - Tọa độ \(y\) của \(\overrightarrow{MN}\) là: \(y_2 - y_1 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4\) - Tọa độ \(z\) của \(\overrightarrow{MN}\) là: \(z_2 - z_1 = -2 - 1 = -3\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MN}\) là \((2, 4, -3)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(2, 4, -3)\). Câu 9: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (0; 1; 1)\) và \(\overrightarrow{b} = (-1; 1; 0)\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 1 + 0 = 1 \] Bước 2: Tính độ dài của các vectơ \(\|\overrightarrow{a}\|\) và \(\|\overrightarrow{b}\|\): \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] Bước 3: Tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm góc \(\theta\): Vì \(\cos \theta = \frac{1}{2}\), nên \(\theta = 60^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(60^\circ\). Đáp án đúng là C. \(60^\circ\). Câu 10: Để xác định vectơ nào cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u} = (3; 2; -5)\), ta cần kiểm tra xem có vectơ nào trong các vectơ đã cho có thể biểu diễn dưới dạng một bội số của \(\overrightarrow{u}\). Một vectơ \(\overrightarrow{v} = (x; y; z)\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nếu tồn tại một số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{u} = (k \cdot 3; k \cdot 2; k \cdot (-5)) \] Bây giờ, ta kiểm tra từng vectơ: A. \((1; -4; 2)\) - So sánh từng thành phần: - \(1 = k \cdot 3 \Rightarrow k = \frac{1}{3}\) - \(-4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -2\) - \(2 = k \cdot (-5) \Rightarrow k = -\frac{2}{5}\) Các giá trị \(k\) không đồng nhất, do đó vectơ này không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). B. \((6; 4; 10)\) - So sánh từng thành phần: - \(6 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 2\) - \(4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 2\) - \(10 = k \cdot (-5) \Rightarrow k = -2\) Các giá trị \(k\) không đồng nhất, do đó vectơ này không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). C. \((-6; -4; 10)\) - So sánh từng thành phần: - \(-6 = k \cdot 3 \Rightarrow k = -2\) - \(-4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -2\) - \(10 = k \cdot (-5) \Rightarrow k = -2\) Các giá trị \(k\) đều đồng nhất, do đó vectơ này cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). D. \((3; 2; 5)\) - So sánh từng thành phần: - \(3 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 1\) - \(2 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 1\) - \(5 = k \cdot (-5) \Rightarrow k = -1\) Các giá trị \(k\) không đồng nhất, do đó vectơ này không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Kết luận: Vectơ \((-6; -4; 10)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u} = (3; 2; -5)\). Vậy đáp án đúng là C. Câu 11: Để xác định vectơ nào vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{a} = (2; -3; -2)\), ta cần kiểm tra tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) với từng vectơ trong các đáp án. Nếu tích vô hướng bằng 0, thì hai vectơ vuông góc với nhau. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\) và \(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] Kiểm tra từng đáp án: A. \(\overrightarrow{b} = (-2; 3; 2)\) \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times (-2) + (-3) \times 3 + (-2) \times 2 = -4 - 9 - 4 = -17 \neq 0 \] Vectơ \((-2; 3; 2)\) không vuông góc với \(\overrightarrow{a}\). B. \(\overrightarrow{b} = (3; 4; -3)\) \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 3 + (-3) \times 4 + (-2) \times (-3) = 6 - 12 + 6 = 0 \] Vectơ \((3; 4; -3)\) vuông góc với \(\overrightarrow{a}\). C. \(\overrightarrow{b} = (1; 2; 4)\) \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 1 + (-3) \times 2 + (-2) \times 4 = 2 - 6 - 8 = -12 \neq 0 \] Vectơ \((1; 2; 4)\) không vuông góc với \(\overrightarrow{a}\). D. \(\overrightarrow{b} = (2; -4; -4)\) \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 2 + (-3) \times (-4) + (-2) \times (-4) = 4 + 12 + 8 = 24 \neq 0 \] Vectơ \((2; -4; -4)\) không vuông góc với \(\overrightarrow{a}\). Kết luận: Vectơ \((3; 4; -3)\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{a}\). Vậy đáp án đúng là \(B\). Câu 12: Để tìm độ dài đoạn thẳng \( MN \) trong không gian \( Oxyz \), ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( M(x_1, y_1, z_1) \) và \( N(x_2, y_2, z_2) \): \[ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với \( M(1, 3, -2) \) và \( N(0, 2, -3) \), ta có: - \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 3 \), \( z_1 = -2 \) - \( x_2 = 0 \), \( y_2 = 2 \), \( z_2 = -3 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ MN = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (-3 + 2)^2} \] \[ = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \] \[ = \sqrt{1 + 1 + 1} \] \[ = \sqrt{3} \] Vậy độ dài \( MN \) là \(\sqrt{3}\). Do đó, đáp án đúng là \( A.~\sqrt{3} \).