Cho M là tập con chứa n phần tử của S = {1; 2; 3;...; 2023}. Tìm n lớn nhất để mọi x, y ∈ M, x ≠ y thì x + y không chia hết cho x − y.

Ta sẽ chứng minh n lớn nhất là 1012. Giả sử tồn tại tập M có 1013 phần tử thỏa mãn điều kiện đề bài. Ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn. Xét các cặp số có tổng chia hết cho hiệu của chúng: (1, 2), (2, 4), (3, 6), ..., (1011, 2022) Có tất cả 1011 cặp như vậy. Mỗi cặp này có 2 phần tử. Vậy tổng cộng có 2022 phần tử trong các cặp này. Mà ta lại có 1013 phần tử trong tập M. Theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất một cặp trong các cặp trên mà cả hai phần tử đều thuộc M. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là "với mọi x, y ∈ M, x ≠ y thì x + y không chia hết cho x − y". Do đó, không thể tồn tại tập M có 1013 phần tử thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy n lớn nhất là 1012. Đáp án: n = 1012