CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 24.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng nếu $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $ (p+1)(p-1) $ chia hết cho 24, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Nhận xét tính chất của $ p $:
   - Vì $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3, nên $ p $ không chia hết cho 2 và 3.

2. Xét tính chẵn lẻ của $ p $:
   - Số nguyên tố $ p $ lớn hơn 3 phải là số lẻ, do đó $ p $ có dạng $ 2k + 1 $ (với $ k $ là số nguyên).

3. Xét các số liên tiếp $ p-1, p, p+1 $:
   - Trong ba số liên tiếp $ p-1, p, p+1 $, luôn có một số chia hết cho 3.
   - Vì $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3, nên $ p $ không chia hết cho 3. Do đó, hoặc $ p-1 $ hoặc $ p+1 $ phải chia hết cho 3.

4. Xét tính chia hết cho 8:
   - Vì $ p $ là số lẻ, nên $ p-1 $ và $ p+1 $ là hai số chẵn liên tiếp.
   - Trong hai số chẵn liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2.
   - Do đó, tích $ (p-1)(p+1) $ chia hết cho $ 4 \times 2 = 8 $.

5. Kết hợp các kết quả:
   - Chúng ta đã biết $ (p-1)(p+1) $ chia hết cho 3 và 8.
   - Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên tích $ (p-1)(p+1) $ chia hết cho $ 3 \times 8 = 24 $.

Vậy, nếu $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $ (p+1)(p-1) $ chia hết cho 24.