Giải phương trình.

Điều kiện xác định: $\cos x \neq 0$, tức là $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k$ là số nguyên. Phương trình đã cho: \[ 2\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sin^2 x - \tan x \] Sử dụng công thức hạ bậc cho vế trái: \[ 2\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 - \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = 1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) \] Biến đổi tiếp: \[ 1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = 1 - \sin(2x) \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 1 - \sin(2x) = 2\sin^2 x - \tan x \] Sử dụng công thức $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$: \[ 1 - \sin(2x) = 1 - \cos(2x) - \tan x \] Rút gọn: \[ -\sin(2x) = -\cos(2x) - \tan x \] \[ \sin(2x) = \cos(2x) + \tan x \] Nhân cả hai vế với $\cos x$ để loại bỏ $\tan x$: \[ \sin(2x)\cos x = \cos(2x)\cos x + \sin x \] Sử dụng công thức $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$: \[ 2\sin x \cos^2 x = \cos(2x)\cos x + \sin x \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 2\sin x \cos^2 x - \cos(2x)\cos x - \sin x = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ \sin x (2\cos^2 x - 1) - \cos(2x)\cos x = 0 \] Sử dụng công thức $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$: \[ \sin x \cos(2x) - \cos(2x)\cos x = 0 \] Nhóm lại: \[ \cos(2x)(\sin x - \cos x) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ \cos(2x) = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = \cos x \] Trường hợp 1: $\cos(2x) = 0$ \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Trường hợp 2: $\sin x = \cos x$ \[ \tan x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Kết hợp các nghiệm: \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \]