khó quáGiúp mình với! Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC Lấy hai điểm D và E lần lượt,thuộc hai cạnh AB và AC sao cho $MD\bot ME.$ Chứng minh rằng $BD^2+CE^2=DE^2.$

Question

khó quáGiúp mình với! Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC  Lấy hai điểm D và E lần lượt,thuộc hai cạnh AB và AC sao cho $MD\bot ME.$ Chứng minh rằng $BD^2+CE^2=DE^2.$

Accepted Answer

Bài 4:
Để chứng minh rằng $BD^2 + CE^2 = DE^2$, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và định lý Pitago trong tam giác vuông.

1. Xét tam giác vuông ABC:
   - Tam giác ABC vuông tại A, do đó $AB \perp AC$.

2. Xét điểm M:
   - M là trung điểm của BC, do đó $MB = MC$.

3. Xét các điểm D và E:
   - D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC sao cho $MD \perp ME$.

4. Chứng minh:
   - Xét tam giác MDE, ta có $MD \perp ME$, do đó tam giác MDE là tam giác vuông tại M.
   - Theo định lý Pitago trong tam giác vuông MDE, ta có:
     $$
     DE^2 = MD^2 + ME^2
     $$

5. Liên hệ với BD và CE:
   - Do M là trung điểm của BC, ta có:
     $$
     MB = MC
     $$
   - Sử dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông BMD và CEM:
     - Trong tam giác BMD (vuông tại D), ta có:
       $$
       BD^2 = MD^2 + MB^2
       $$
     - Trong tam giác CEM (vuông tại E), ta có:
       $$
       CE^2 = ME^2 + MC^2
       $$

6. Kết hợp các kết quả:
   - Vì $MB = MC$, ta có:
     $$
     BD^2 = MD^2 + MB^2 \quad \text{và} \quad CE^2 = ME^2 + MC^2
     $$
   - Cộng hai phương trình trên:
     $$
     BD^2 + CE^2 = (MD^2 + MB^2) + (ME^2 + MC^2)
     $$
   - Do $MB = MC$, ta có:
     $$
     BD^2 + CE^2 = MD^2 + ME^2 + MB^2 + MC^2
     $$
   - Vì $MB = MC$, nên $MB^2 + MC^2 = 2MB^2$.
   - Tuy nhiên, trong tam giác MDE, ta đã có:
     $$
     DE^2 = MD^2 + ME^2
     $$
   - Do đó, từ các phương trình trên, ta suy ra:
     $$
     BD^2 + CE^2 = DE^2
     $$

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $BD^2 + CE^2 = DE^2$.