giai het phan bai tap nay

Câu 26: Để tìm giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \), ta cần sử dụng thông tin về đạo hàm và giá trị ban đầu của hàm số \( F(x) \). 1. Tìm hàm số \( F(x) \): Ta biết rằng \( F'(x) = 2 - \sin x \). Để tìm \( F(x) \), ta cần tính nguyên hàm của \( F'(x) \). \[ F(x) = \int (2 - \sin x) \, dx = \int 2 \, dx - \int \sin x \, dx \] Tính từng phần: - \(\int 2 \, dx = 2x + C_1\) - \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C_2\) Kết hợp lại, ta có: \[ F(x) = 2x + \cos x + C \] với \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. 2. Sử dụng điều kiện ban đầu: Ta có \( F(0) = -2 \). Thay vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 + C = -2 \] \[ 1 + C = -2 \implies C = -3 \] Vậy hàm số \( F(x) \) là: \[ F(x) = 2x + \cos x - 3 \] 3. Tính \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \): Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3 \] \[ = \pi + 0 - 3 = \pi - 3 \] Vậy giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \) là \(\pi - 3\). Đáp án: D. \(\pi - 3\). Câu 27: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số \( F(x) \) từ đạo hàm đã cho \( F'(x) = 3e^x \) và sử dụng điều kiện ban đầu \( F(\ln 7) = 10 \). Bước 1: Tìm hàm số \( F(x) \) từ đạo hàm \( F'(x) = 3e^x \). Ta biết rằng: \[ F'(x) = 3e^x \] Do đó, ta tích phân \( F'(x) \) để tìm \( F(x) \): \[ F(x) = \int 3e^x \, dx \] \[ F(x) = 3 \int e^x \, dx \] \[ F(x) = 3e^x + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 2: Sử dụng điều kiện ban đầu \( F(\ln 7) = 10 \) để tìm giá trị của \( C \). Thay \( x = \ln 7 \) vào \( F(x) \): \[ F(\ln 7) = 3e^{\ln 7} + C \] \[ 10 = 3 \cdot 7 + C \] \[ 10 = 21 + C \] \[ C = 10 - 21 \] \[ C = -11 \] Vậy hàm số \( F(x) \) là: \[ F(x) = 3e^x - 11 \] Bước 3: Tìm giá trị của \( F(0) \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 3e^0 - 11 \] \[ F(0) = 3 \cdot 1 - 11 \] \[ F(0) = 3 - 11 \] \[ F(0) = -8 \] Vậy giá trị của \( F(0) \) là \(-8\). Đáp án đúng là C. -8. Câu 28: Để tìm giá trị của \( F(1) \) khi biết \( F'(x) = 2x + 7 \) và \( F(2) = 5 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( F'(x) \): \[ F'(x) = 2x + 7 \] Nguyên hàm của \( 2x + 7 \) là: \[ F(x) = \int (2x + 7) \, dx = x^2 + 7x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 2. Xác định giá trị của \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu \( F(2) = 5 \): \[ F(2) = 2^2 + 7 \cdot 2 + C = 5 \] \[ 4 + 14 + C = 5 \] \[ 18 + C = 5 \] \[ C = 5 - 18 = -13 \] 3. Thay giá trị của \( C \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(x) = x^2 + 7x - 13 \] 4. Tính giá trị của \( F(1) \): \[ F(1) = 1^2 + 7 \cdot 1 - 13 \] \[ F(1) = 1 + 7 - 13 \] \[ F(1) = -5 \] Vậy giá trị của \( F(1) \) là \(-5\). Đáp án đúng là: B. -5 Câu 29: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số \( F(x) \) sao cho \( F'(x) = \frac{1}{2x} \) và thỏa mãn điều kiện \( F(1) = 1 \). 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{2x} \): \[ F(x) = \int \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x| + C \] Vì \( x > 0 \) trong miền xác định của bài toán, nên \( |x| = x \). Do đó: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln x + C \] 2. Xác định hằng số \( C \) bằng điều kiện ban đầu \( F(1) = 1 \): \[ F(1) = \frac{1}{2} \ln 1 + C = 1 \] Vì \( \ln 1 = 0 \), nên: \[ C = 1 \] Do đó, hàm số \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln x + 1 \] 3. Tính giá trị của \( F(4) \): \[ F(4) = \frac{1}{2} \ln 4 + 1 \] Ta biết rằng \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \), nên: \[ F(4) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 2 + 1 = \ln 2 + 1 \] Vậy giá trị của \( F(4) \) là \( 1 + \ln 2 \). Đáp án đúng là: \( B.~1+\ln2 \). Câu 30: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2}{x} \) và sau đó sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân. 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{2}{x} \): \[ F(x) = \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln |x| + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 2. Sử dụng điều kiện ban đầu \( F(-1) = 0 \) để tìm \( C \): \[ F(-1) = 2 \ln |-1| + C = 0 \] Vì \( \ln |-1| = \ln 1 = 0 \), nên: \[ 2 \cdot 0 + C = 0 \implies C = 0 \] 3. Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = 2 \ln |x| \] 4. Tính \( F(-2) \): \[ F(-2) = 2 \ln |-2| = 2 \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~2\ln2} \] Câu 31: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cơ bản của tích phân. Định lý này nói rằng nếu \( f(x) \) là một hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\) và \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) trên đoạn đó, thì: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong bài toán này, chúng ta cần tính tích phân \(\int_0^{2025} f'(x) \, dx\). Theo định lý cơ bản của tích phân, tích phân này sẽ bằng: \[ \int_0^{2025} f'(x) \, dx = f(2025) - f(0) \] Chúng ta đã biết từ đề bài rằng: - \( f(0) = 2030 \) - \( f(2025) = 4 \) Do đó, thay các giá trị này vào công thức trên, ta có: \[ \int_0^{2025} f'(x) \, dx = f(2025) - f(0) = 4 - 2030 = -2026 \] Vậy đáp án đúng là: A. -2026. Câu 32: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cơ bản của tích phân. Định lý này nói rằng nếu \( f(x) \) là một hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\) và \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) trên đoạn đó, thì: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong trường hợp này, chúng ta có hàm \( f(x) \) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \([-1, 2]\). Chúng ta cần tính tích phân của đạo hàm \( f'(x) \) từ \(-1\) đến \(2\): \[ \int_{-1}^{2} f'(x) \, dx \] Theo định lý cơ bản của tích phân, tích phân này sẽ bằng sự chênh lệch giữa giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 2 \) và \( x = -1 \): \[ \int_{-1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(-1) \] Chúng ta đã biết từ đề bài rằng: \( f(-1) = 8 \) \( f(2) = -1 \) Do đó: \[ \int_{-1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(-1) = -1 - 8 = -9 \] Vậy đáp án đúng là: C. -9 Câu 33: Do \( F(x) = x^2 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) trên \( \mathbb{R} \), ta suy ra \( f(x) = F'(x) = 2x \). Bây giờ, ta tính tích phân \( \int_{0}^{2} [1 + f(x)] \, dx \): \[ \int_{0}^{2} [1 + f(x)] \, dx = \int_{0}^{2} [1 + 2x] \, dx \] Ta chia tích phân này thành hai phần: \[ \int_{0}^{2} [1 + 2x] \, dx = \int_{0}^{2} 1 \, dx + \int_{0}^{2} 2x \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2 \] \[ \int_{0}^{2} 2x \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \cdot 2 = 4 \] Cộng hai kết quả lại: \[ \int_{0}^{2} [1 + 2x] \, dx = 2 + 4 = 6 \] Vậy giá trị của \( \int_{0}^{2} [1 + f(x)] \, dx \) là 6. Đáp án đúng là: \( \boxed{6} \). Câu 34: Do \( F(x) = x^3 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) trên \( \mathbb{R} \), ta suy ra \( f(x) = F'(x) = 3x^2 \). Bây giờ, ta tính tích phân \( \int_{1}^{2} (2 + f(x)) \, dx \): \[ \int_{1}^{2} (2 + 3x^2) \, dx \] Ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int_{1}^{2} 2 \, dx + \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx \] Tính từng phần: 1. Tích phân của hằng số \( 2 \): \[ \int_{1}^{2} 2 \, dx = 2x \Big|_{1}^{2} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2 \] 2. Tích phân của \( 3x^2 \): \[ \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx = 3 \int_{1}^{2} x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{1}^{2} = x^3 \Big|_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \] Cộng hai kết quả lại: \[ 2 + 7 = 9 \] Vậy giá trị của \( \int_{1}^{2} (2 + f(x)) \, dx \) là \( 9 \). Đáp án đúng là: \( C.~9 \). Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm đã cho và sau đó tính tích phân của \( f(x) \). 1. Tìm hàm số \( f(x) \): - Biết rằng \( f'(x) = \frac{x^2}{3} \). - Ta tích phân \( f'(x) \) để tìm \( f(x) \): \[ f(x) = \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{9} + C \] - Biết rằng \( f(0) = 1 \), ta thay \( x = 0 \) vào \( f(x) \) để tìm \( C \): \[ f(0) = \frac{0^3}{9} + C = 1 \implies C = 1 \] - Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{x^3}{9} + 1 \] 2. Tính tích phân của \( f(x) \): - Tích phân của \( f(x) \) là: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{x^3}{9} + 1 \right) \, dx = \int \frac{x^3}{9} \, dx + \int 1 \, dx \] - Tích phân từng phần: \[ \int \frac{x^3}{9} \, dx = \frac{1}{9} \int x^3 \, dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{36} \] \[ \int 1 \, dx = x \] - Kết hợp lại, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^4}{36} + x + D \] - Vì đề bài yêu cầu tính tích phân xác định, nhưng không cho giới hạn cụ thể, nên ta chỉ cần viết dạng tổng quát của tích phân. 3. Kết luận: - Đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{x^4}{36} + x + D} \] Tuy nhiên, vì đề bài yêu cầu chọn đáp án trong các lựa chọn A, B, C, D, và không cung cấp giới hạn tích phân cụ thể, nên có thể có lỗi trong đề bài hoặc thiếu thông tin. Nếu có thêm thông tin về giới hạn tích phân, ta sẽ tính toán tiếp.