Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 13; BC = 10. Tính độ dài đường trung tuyến BD.

Để tính độ dài đường trung tuyến BD của tam giác ABC cân tại A với AB = AC = 13 và BC = 10, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung điểm D của cạnh AC: Vì BD là đường trung tuyến nên D là trung điểm của AC. Do tam giác ABC cân tại A, nên AC = AB = 13. 2. Sử dụng định lý Apollonius: Định lý Apollonius cho tam giác ABC với đường trung tuyến BD là: \[ AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + \frac{1}{2}BC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 13^2 + 13^2 = 2BD^2 + \frac{1}{2} \times 10^2 \] \[ 169 + 169 = 2BD^2 + 50 \] \[ 338 = 2BD^2 + 50 \] 3. Giải phương trình để tìm BD: Trừ 50 từ cả hai vế: \[ 338 - 50 = 2BD^2 \] \[ 288 = 2BD^2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 144 = BD^2 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ BD = \sqrt{144} = 12 \] Vậy, độ dài đường trung tuyến BD là 12.