Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại điểm D. Gọi I là giao điểm của AH và DC. Chứng minh I là trung...

Để chứng minh I là trung điểm của AH, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố hình học: - Tam giác ABC vuông tại A, nên \( \angle BAC = 90^\circ \). - Đường cao AH vuông góc với BC tại H. - Trung tuyến AM từ A đến trung điểm M của BC. 2. Xác định vị trí của điểm D: - Đường thẳng qua A vuông góc với AM, do đó AD là đường thẳng vuông góc với AM. - Đường thẳng qua B vuông góc với BC, do đó BD là đường thẳng vuông góc với BC. - Điểm D là giao điểm của hai đường thẳng này. 3. Xác định vị trí của điểm I: - I là giao điểm của AH và DC. 4. Chứng minh I là trung điểm của AH: - Xét tam giác ABD, ta có: - AD vuông góc với AM (do giả thiết). - BD vuông góc với BC (do giả thiết). - Do đó, tứ giác AMBD là hình chữ nhật (vì có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc). - Trong hình chữ nhật AMBD, ta có AM = BD và AD = MB. - Vì M là trung điểm của BC, nên AM = MB. - Do đó, AD = AM = MB = BD. 5. Sử dụng tính chất của hình chữ nhật: - Trong hình chữ nhật AMBD, đường chéo AB cắt đường chéo MD tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Do đó, I là trung điểm của AH (vì I nằm trên đường chéo MD và AH là đường cao từ A). Kết luận: I là trung điểm của AH.