Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD . Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AH và DH . a) Chứng minh MN song song AD b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ g...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh MN song song AD - Gọi \( H \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( A \) đến \( BD \), do đó \( AH \perp BD \). - \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AH \) và \( DH \). - Ta có \( M \) là trung điểm của \( AH \) nên \( AM = MH \). - \( N \) là trung điểm của \( DH \) nên \( DN = NH \). Xét tam giác \( ADH \), \( M \) và \( N \) là trung điểm của hai cạnh \( AH \) và \( DH \). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó. Do đó, \( MN \parallel AD \). b) Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành - Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \). - Ta đã có \( M \) là trung điểm của \( AH \) và \( N \) là trung điểm của \( DH \). Xét tam giác \( BDC \), \( I \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( DH \). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \( IN \) sẽ song song với \( BD \) và \( IN = \frac{1}{2} BD \). Từ phần a), ta có \( MN \parallel AD \). Vì \( MN \parallel AD \) và \( IN \parallel BD \), nên \( MN \parallel IN \). Do đó, tứ giác \( BMNI \) có hai cặp cạnh đối song song, nên \( BMNI \) là hình bình hành. c) Tính góc ANI - Ta đã biết \( MN \parallel AD \) và \( IN \parallel BD \). - Vì \( MN \parallel AD \) và \( IN \parallel BD \), nên góc \( ANI \) là góc giữa hai đường thẳng song song với hai đường chéo của hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, các góc giữa các đường chéo và các cạnh là góc vuông. Do đó, góc \( ANI \) là góc vuông. Vậy, góc \( ANI = 90^\circ \).