giúp cả nhà

Bàii: Để tính diện tích của hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(AD \bot AC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều cao của hình thang: Vì \(AD \bot AC\), nên \(AD\) là chiều cao của hình thang từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(CD\). 2. Tính chiều cao \(AD\): Do hình thang cân, nên hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) bằng nhau. Ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABD\) để tính chiều cao \(AD\). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có: \[ AB^2 + AD^2 = BD^2 \] Vì \(AB = 7\) cm và \(CD = 25\) cm, nên \(BD = \frac{CD - AB}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9\) cm. Thay vào công thức Pythagore: \[ 7^2 + AD^2 = 9^2 \] \[ 49 + AD^2 = 81 \] \[ AD^2 = 81 - 49 = 32 \] \[ AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \] 3. Tính diện tích hình thang: Diện tích \(S\) của hình thang được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (7 + 25) \times 4\sqrt{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 32 \times 4\sqrt{2} \] \[ S = 64\sqrt{2} \text{ cm}^2 \] Vậy, diện tích của hình thang \(ABCD\) là \(64\sqrt{2}\) cm\(^2\). Bài 13: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tính diện tích hình thang ABCD: Hình thang ABCD có hai góc vuông tại A và D, do đó AD và BC là hai cạnh song song và vuông góc với AB và CD. Ta có: - \(AD = 15~cm\) (vì \(OD = 15~cm\) và \(A = D = 90^\circ\)). - \(OB = 5,4~cm\). Vì \(A = D = 90^\circ\), nên \(AB\) và \(CD\) là hai cạnh song song và vuông góc với \(AD\). Do đó, \(AB = OB = 5,4~cm\). Diện tích hình thang ABCD được tính theo công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD \] Vì \(AB = OB = 5,4~cm\) và \(CD = AB = 5,4~cm\) (do hai cạnh song song và bằng nhau), nên: \[ S = \frac{1}{2} \times (5,4 + 5,4) \times 15 = \frac{1}{2} \times 10,8 \times 15 = 81~cm^2 \] b) Tính độ dài MN: Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Vì đường thẳng này song song với hai đáy, nên MN cũng là một đoạn thẳng song song với AB và CD. Do đó, MN có độ dài bằng độ dài của hai đáy, tức là: \[ MN = AB = 5,4~cm \] Vậy, độ dài MN là \(5,4~cm\). Bài 14: Để chứng minh rằng \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng. 1. Xét tam giác vuông: Trong tam giác \( \Delta AHM \) và \( \Delta AHN \), ta có: - \( AM \) và \( AN \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \). - \( \angle AHM = \angle AHN = 90^\circ \). 2. Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai tam giác nhỏ hơn, đồng dạng với tam giác ban đầu và đồng dạng với nhau. 3. Đồng dạng tam giác: Xét hai tam giác vuông \( \Delta AHM \) và \( \Delta AHN \): - \( \angle AHM = \angle AHN = 90^\circ \). - \( \angle HAM = \angle HAN \) (góc chung). Do đó, hai tam giác \( \Delta AHM \) và \( \Delta AHN \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA). 4. Tỉ lệ đồng dạng: Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có: \[ \frac{AM}{AH} = \frac{AH}{AN} \] 5. Biến đổi tỉ lệ: Từ tỉ lệ trên, ta suy ra: \[ AM \cdot AN = AH^2 \] 6. Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông lớn: Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với đường cao \( AH \), ta có: \[ AH^2 = AB \cdot AC \] 7. Kết hợp các kết quả: Từ hai kết quả trên, ta có: \[ AM \cdot AN = AH^2 = AB \cdot AC \] 8. Kết luận: Do đó, ta có: \[ AB \cdot AM = AC \cdot AN \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \). Bài 15: Để chứng minh đẳng thức $AC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AB\sin B}{\sin C}$ trong tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, ta thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có: - $\sin C = \frac{AC}{AB}$, vì $\sin C$ là tỉ số giữa cạnh đối diện góc C (là $AC$) và cạnh huyền (là $AB$). 2. Chứng minh $AC = \frac{AB}{\sin C}$: Từ định nghĩa của $\sin C$, ta có: \[ \sin C = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \sin C \] Do đó, $AC = \frac{AB}{\sin C}$. 3. Chứng minh $AC = \frac{AB\sin B}{\sin C}$: Trong tam giác vuông $\Delta ABC$, ta cũng có: - $\sin B = \frac{BC}{AB}$, vì $\sin B$ là tỉ số giữa cạnh đối diện góc B (là $BC$) và cạnh huyền (là $AB$). Từ định lý sin trong tam giác, ta có: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin C} \] Suy ra: \[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin C} \] Nhưng vì $BC = AB \cdot \sin B$, nên: \[ AC = \frac{AB \cdot \sin B \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} \] 4. Kết luận: Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng: \[ AC = \frac{AB}{\sin C} = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} \] Vậy đẳng thức đã được chứng minh. Bài 16: Để tìm giá trị của x trong mỗi trường hợp, chúng ta sẽ sử dụng các giá trị đã cho của các hàm lượng giác. 1. Trường hợp 1: Tìm x biết \(\tan B \approx 1,072\) Ta có: \[ \tan B \approx 1,072 \] Để tìm góc B, ta sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác để tìm góc có giá trị tiếp tuyến gần 1,072. Kết quả: \[ B \approx \arctan(1,072) \approx 47^\circ \] Vậy: \[ x \approx 47^\circ \] 2. Trường hợp 2: Tìm x biết \(\cos E \approx 0,188\) Ta có: \[ \cos E \approx 0,188 \] Để tìm góc E, ta sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác để tìm góc có giá trị cosin gần 0,188. Kết quả: \[ E \approx \arccos(0,188) \approx 80^\circ \] Vậy: \[ x \approx 80^\circ \] Kết luận: - Trong trường hợp 1, giá trị của x là khoảng \(47^\circ\). - Trong trường hợp 2, giá trị của x là khoảng \(80^\circ\).