Cho tam giác ABC vuông tại A,AB<AC.Gọi M là trung điểm của BC,kẻ MD vuông góc AB tại D ,ME vuông góc AC tại E .a, Chứng minh :AEMD là hình chữ nhật và AM=DE b,Chứng minh :DMCE là hình bình hành

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một để chứng minh các yêu cầu. a. Chứng minh: AEMD là hình chữ nhật và AM = DE 1. Chứng minh AEMD là hình chữ nhật: - Ta có MD vuông góc với AB tại D, do đó góc \( \angle MDA = 90^\circ \). - Tương tự, ME vuông góc với AC tại E, do đó góc \( \angle MEA = 90^\circ \). - Trong tam giác vuông ABC, góc \( \angle BAC = 90^\circ \). - Do đó, tứ giác AEMD có ba góc vuông: \( \angle MDA = 90^\circ \), \( \angle MEA = 90^\circ \), và \( \angle BAC = 90^\circ \). - Vì tổng các góc trong tứ giác là \( 360^\circ \), góc còn lại \( \angle AMD = 90^\circ \). - Vậy, tứ giác AEMD có bốn góc vuông, nên AEMD là hình chữ nhật. 2. Chứng minh AM = DE: - Trong hình chữ nhật, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Do đó, AM = DE vì chúng là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật AEMD. b. Chứng minh: DMCE là hình bình hành 1. Chứng minh DMCE là hình bình hành: - Ta đã biết MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC. - Vì M là trung điểm của BC, nên MB = MC. - Trong tam giác vuông ABC, M là trung điểm của BC, do đó MD và ME là các đường trung tuyến. - Từ đó, ta có DE // BC (vì DE là đường trung bình của tam giác ABC). - Tương tự, DM // EC (vì DM và EC đều vuông góc với AB và AC tương ứng). - Do đó, DMCE có hai cặp cạnh đối song song: DM // EC và DE // MC. - Vậy, DMCE là hình bình hành. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.