giúp mình với

Bài 1: Giải phương trình \( x_0(x_0 - x_1) = -25 \) Để giải phương trình này, chúng ta cần biết giá trị cụ thể của \( x_0 \) và \( x_1 \). Tuy nhiên, vì không có thông tin cụ thể về \( x_0 \) và \( x_1 \), chúng ta sẽ giả sử \( x_0 \) và \( x_1 \) là các hằng số và giải theo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Giả sử \( x_0 = a \) và \( x_1 = b \), ta có phương trình: \[ a(a - b) = -25 \] Phương trình này có thể viết lại dưới dạng: \[ a^2 - ab = -25 \] \[ a^2 - ab + 25 = 0 \] Ta thử các giá trị nguyên của \( a \) để tìm \( b \): - Nếu \( a = 5 \): \[ 5^2 - 5b + 25 = 0 \] \[ 25 - 5b + 25 = 0 \] \[ 50 - 5b = 0 \] \[ 5b = 50 \] \[ b = 10 \] - Nếu \( a = -5 \): \[ (-5)^2 - (-5)b + 25 = 0 \] \[ 25 + 5b + 25 = 0 \] \[ 50 + 5b = 0 \] \[ 5b = -50 \] \[ b = -10 \] Vậy, các cặp giá trị \( (a, b) \) thỏa mãn phương trình là \( (5, 10) \) và \( (-5, -10) \). Bài 2: Giải phương trình \( (x + 3)^2 + (x - 2)^2 = 2x^2 \) Mở rộng và rút gọn phương trình: \[ (x + 3)^2 + (x - 2)^2 = 2x^2 \] \[ x^2 + 6x + 9 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 \] \[ 2x^2 + 2x + 13 = 2x^2 \] Rút gọn: \[ 2x + 13 = 0 \] \[ 2x = -13 \] \[ x = -\frac{13}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{13}{2} \] Bài 12: 1) \( x^2 + y^2 + 4y + 13 = 6x \) Ta có: \[ x^2 + y^2 + 4y + 13 = 6x \] \[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0 \] Do đó: \[ (x - 3)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y + 2)^2 = 0 \] \[ x - 3 = 0 \quad \text{và} \quad y + 2 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{và} \quad y = -2 \] 2) \( x^2 + y^2 + 17 = 2x - 8y \) Ta có: \[ x^2 + y^2 + 17 = 2x - 8y \] \[ x^2 - 2x + y^2 + 8y + 17 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 8y + 16 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 0 \] Do đó: \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y + 4)^2 = 0 \] \[ x - 1 = 0 \quad \text{và} \quad y + 4 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{và} \quad y = -4 \] 3) \( x^2 + y^2 + 45 = 12y - 6x \) Ta có: \[ x^2 + y^2 + 45 = 12y - 6x \] \[ x^2 + 6x + y^2 - 12y + 45 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ x^2 + 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = 0 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 6)^2 = 0 \] Do đó: \[ (x + 3)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y - 6)^2 = 0 \] \[ x + 3 = 0 \quad \text{và} \quad y - 6 = 0 \] \[ x = -3 \quad \text{và} \quad y = 6 \] 4) \( 4x^2 + 9y^2 + 2 = 4x + 6y \) Ta có: \[ 4x^2 + 9y^2 + 2 = 4x + 6y \] \[ 4x^2 - 4x + 9y^2 - 6y + 2 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ 4(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 9(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 0 \] \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 + 9(y - \frac{1}{3})^2 = 0 \] Do đó: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 = 0 \quad \text{và} \quad 9(y - \frac{1}{3})^2 = 0 \] \[ x - \frac{1}{2} = 0 \quad \text{và} \quad y - \frac{1}{3} = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad y = \frac{1}{3} \] 5) \( 9x^2 + 4y^2 + 26 + 4y = 30x \) Ta có: \[ 9x^2 + 4y^2 + 26 + 4y = 30x \] \[ 9x^2 - 30x + 4y^2 + 4y + 26 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ 9(x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}) + 4(y^2 + y + \frac{1}{4}) = 0 \] \[ 9(x - \frac{5}{3})^2 + 4(y + \frac{1}{2})^2 = 0 \] Do đó: \[ 9(x - \frac{5}{3})^2 = 0 \quad \text{và} \quad 4(y + \frac{1}{2})^2 = 0 \] \[ x - \frac{5}{3} = 0 \quad \text{và} \quad y + \frac{1}{2} = 0 \] \[ x = \frac{5}{3} \quad \text{và} \quad y = -\frac{1}{2} \] 6) \( 9x^2 + y^2 + 20 = 12x + 8y \) Ta có: \[ 9x^2 + y^2 + 20 = 12x + 8y \] \[ 9x^2 - 12x + y^2 - 8y + 20 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ 9(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + (y^2 - 8y + 16) = 0 \] \[ 9(x - \frac{2}{3})^2 + (y - 4)^2 = 0 \] Do đó: \[ 9(x - \frac{2}{3})^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y - 4)^2 = 0 \] \[ x - \frac{2}{3} = 0 \quad \text{và} \quad y - 4 = 0 \] \[ x = \frac{2}{3} \quad \text{và} \quad y = 4 \] 7) \( x^2 + 49y^2 + 5 + 14y = 4x \) Ta có: \[ x^2 + 49y^2 + 5 + 14y = 4x \] \[ x^2 - 4x + 49y^2 + 14y + 5 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ (x^2 - 4x + 4) + 49(y^2 + \frac{2}{7}y + \frac{1}{49}) = 0 \] \[ (x - 2)^2 + 49(y + \frac{1}{7})^2 = 0 \] Do đó: \[ (x - 2)^2 = 0 \quad \text{và} \quad 49(y + \frac{1}{7})^2 = 0 \] \[ x - 2 = 0 \quad \text{và} \quad y + \frac{1}{7} = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{và} \quad y = -\frac{1}{7} \] 8) \( 16x^2 + 25y^2 + 13 = 20y + 24x \) Ta có: \[ 16x^2 + 25y^2 + 13 = 20y + 24x \] \[ 16x^2 - 24x + 25y^2 - 20y + 13 = 0 \] Viết lại dưới dạng hoàn chỉnh: \[ 16(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) + 25(y^2 - \frac{4}{5}y + \frac{4}{25}) = 0 \] \[ 16(x - \frac{3}{4})^2 + 25(y - \frac{2}{5})^2 = 0 \] Do đó: \[ 16(x - \frac{3}{4})^2 = 0 \quad \text{và} \quad 25(y - \frac{2}{5})^2 = 0 \] \[ x - \frac{3}{4} = 0 \quad \text{và} \quad y - \frac{2}{5} = 0 \] \[ x = \frac{3}{4} \quad \text{và} \quad y = \frac{2}{5} \] Bài 13: 1) \( A = x^2 - x + 1 \) Ta có: \[ x^2 - x + 1 = x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \] \[ = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \(\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \] Do đó, \( A = x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \(x\). 2) \( B = x^2 + x + 1 \) Ta có: \[ x^2 + x + 1 = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \] \[ = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \(\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \] Do đó, \( B = x^2 + x + 1 > 0 \) với mọi \(x\). 3) \( C = x^2 + 2x + 2 \) Ta có: \[ x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 \] \[ = (x + 1)^2 + 1 \] Vì \((x + 1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ (x + 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 \] Do đó, \( C = x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi \(x\). 4) \( A = x^2 - 5x + 10 \) Ta có: \[ x^2 - 5x + 10 = x^2 - 5x + \frac{25}{4} + \frac{15}{4} \] \[ = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{15}{4} \] Vì \(\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4} > 0 \] Do đó, \( A = x^2 - 5x + 10 > 0 \) với mọi \(x\). 5) \( B = x^2 - 8x + 20 \) Ta có: \[ x^2 - 8x + 20 = x^2 - 8x + 16 + 4 \] \[ = (x - 4)^2 + 4 \] Vì \((x - 4)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ (x - 4)^2 + 4 \geq 4 > 0 \] Do đó, \( B = x^2 - 8x + 20 > 0 \) với mọi \(x\). 6) \( C = x^2 - 8x + 17 \) Ta có: \[ x^2 - 8x + 17 = x^2 - 8x + 16 + 1 \] \[ = (x - 4)^2 + 1 \] Vì \((x - 4)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ (x - 4)^2 + 1 \geq 1 > 0 \] Do đó, \( C = x^2 - 8x + 17 > 0 \) với mọi \(x\). 7) \( A = x^2 - 6x + 10 \) Ta có: \[ x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 \] \[ = (x - 3)^2 + 1 \] Vì \((x - 3)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ (x - 3)^2 + 1 \geq 1 > 0 \] Do đó, \( A = x^2 - 6x + 10 > 0 \) với mọi \(x\). 8) \( B = 9x^2 - 6x + 2 \) Ta có: \[ 9x^2 - 6x + 2 = 9x^2 - 6x + 1 + 1 \] \[ = (3x - 1)^2 + 1 \] Vì \((3x - 1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ (3x - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 \] Do đó, \( B = 9x^2 - 6x + 2 > 0 \) với mọi \(x\). 9) \( C = 2x^2 + 8x + 15 \) Ta có: \[ 2x^2 + 8x + 15 = 2(x^2 + 4x) + 15 \] \[ = 2(x^2 + 4x + 4) + 15 - 8 \] \[ = 2(x + 2)^2 + 7 \] Vì \(2(x + 2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ 2(x + 2)^2 + 7 \geq 7 > 0 \] Do đó, \( C = 2x^2 + 8x + 15 > 0 \) với mọi \(x\). Bài 14: 1) \( A = x^2 - x + 3 \) Ta có: \[ A = x^2 - x + 3 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} \] Vì \(\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( A \geq \frac{11}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \(\frac{11}{4}\), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \). 2) \( B = x^2 + x + 1 \) Ta có: \[ B = x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \(\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( B \geq \frac{3}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \(\frac{3}{4}\), đạt được khi \( x = -\frac{1}{2} \). 3) \( C = x^2 - 4x + 1 \) Ta có: \[ C = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3 \] Vì \((x - 2)^2 \geq 0\) nên \( C \geq -3 \). Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \(-3\), đạt được khi \( x = 2 \). 4) \( D = x^2 - 5x + 7 \) Ta có: \[ D = x^2 - 5x + 7 = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \(\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( D \geq \frac{3}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( D \) là \(\frac{3}{4}\), đạt được khi \( x = \frac{5}{2} \). 5) \( E = x^2 + 2x + 2 \) Ta có: \[ E = x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 \] Vì \((x + 1)^2 \geq 0\) nên \( E \geq 1 \). Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \(1\), đạt được khi \( x = -1 \). 6) \( F = x^2 - 3x + 1 \) Ta có: \[ F = x^2 - 3x + 1 = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{5}{4} \] Vì \(\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( F \geq -\frac{5}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \(-\frac{5}{4}\), đạt được khi \( x = \frac{3}{2} \). 7) \( G = 3 + x^2 + 3x \) Ta có: \[ G = x^2 + 3x + 3 = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \(\left( x + \frac{3}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( G \geq \frac{3}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( G \) là \(\frac{3}{4}\), đạt được khi \( x = -\frac{3}{2} \). 8) \( H = 3x^2 + 3 - 5x \) Ta có: \[ H = 3x^2 - 5x + 3 = 3 \left( x - \frac{5}{6} \right)^2 + \frac{11}{12} \] Vì \(3 \left( x - \frac{5}{6} \right)^2 \geq 0\) nên \( H \geq \frac{11}{12} \). Giá trị nhỏ nhất của \( H \) là \(\frac{11}{12}\), đạt được khi \( x = \frac{5}{6} \). 9) \( I = 4x + 2x^2 + 3 \) Ta có: \[ I = 2x^2 + 4x + 3 = 2(x + 1)^2 + 1 \] Vì \(2(x + 1)^2 \geq 0\) nên \( I \geq 1 \). Giá trị nhỏ nhất của \( I \) là \(1\), đạt được khi \( x = -1 \). 10) \( K = 4x^2 + 3x + 2 \) Ta có: \[ K = 4x^2 + 3x + 2 = 4 \left( x + \frac{3}{8} \right)^2 + \frac{23}{16} \] Vì \(4 \left( x + \frac{3}{8} \right)^2 \geq 0\) nên \( K \geq \frac{23}{16} \). Giá trị nhỏ nhất của \( K \) là \(\frac{23}{16}\), đạt được khi \( x = -\frac{3}{8} \). 11) \( M = (x - 1)(x - 3) + 11 \) Ta có: \[ M = (x - 1)(x - 3) + 11 = x^2 - 4x + 3 + 11 = x^2 - 4x + 14 \] Ta có: \[ M = x^2 - 4x + 14 = (x - 2)^2 + 10 \] Vì \((x - 2)^2 \geq 0\) nên \( M \geq 10 \). Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \(10\), đạt được khi \( x = 2 \). 12) \( N = (x - 3)^2 + (x - 2)^2 \) Ta có: \[ N = (x - 3)^2 + (x - 2)^2 = x^2 - 6x + 9 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 10x + 13 \] Ta có: \[ N = 2x^2 - 10x + 13 = 2 \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \] Vì \(2 \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 \geq 0\) nên \( N \geq \frac{1}{2} \). Giá trị nhỏ nhất của \( N \) là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi \( x = \frac{5}{2} \).