Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên đáy CD lấy các điểm E và F sao cho OE // AD; OF // BC. Chứng minh rằng DE = CF.

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5423696,"userName":"Quang"}

ABCDOEF

Vì: OE//AD

⇒DE/DC=OA/CA(1)

OF//BC

⇒CF/CD=BO/BD(2)

AB//CD

⇒AO/AC=BO/BD(3)

Từ (1), (2), (3)

⇒DE/DC=CF/DC

⇒ DE = CF (đpcm)

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ DE = CF $, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và các đường thẳng song song.

1. Xét hình thang ABCD:
   - Giả sử $ AB // CD $ và hai đường chéo $ AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ O $.

2. Xét các đường thẳng song song:
   - Theo giả thiết, $ OE // AD $ và $ OF // BC $.

3. Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song:
   - Vì $ OE // AD $ và $ OF // BC $, nên theo định lý về các đường thẳng song song cắt nhau, ta có:
     - $ \triangle OED \sim \triangle OAD $ (vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau: $ \angle OED = \angle OAD $ và $ \angle ODE = \angle ODA $).
     - $ \triangle OFC \sim \triangle OBC $ (vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau: $ \angle OFC = \angle OBC $ và $ \angle OCF = \angle OCB $).

4. Sử dụng tính chất đồng dạng:
   - Từ $ \triangle OED \sim \triangle OAD $, ta có:
     $$
     \frac{OE}{OA} = \frac{ED}{AD}
     $$
   - Từ $ \triangle OFC \sim \triangle OBC $, ta có:
     $$
     \frac{OF}{OB} = \frac{FC}{BC}
     $$

5. Sử dụng tính chất của hình thang:
   - Vì $ AB // CD $, nên $ \triangle OAB \sim \triangle OCD $ (vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau: $ \angle OAB = \angle OCD $ và $ \angle OBA = \angle ODC $).
   - Từ $ \triangle OAB \sim \triangle OCD $, ta có:
     $$
     \frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}
     $$
     $$
     \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}
     $$

6. Kết hợp các tỉ lệ:
   - Từ các tỉ lệ trên, ta có:
     $$
     \frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB}
     $$
   - Do đó, từ hai tỉ lệ đồng dạng:
     $$
     \frac{ED}{AD} = \frac{FC}{BC}
     $$

7. Kết luận:
   - Vì $ AD = BC $ (do $ AB // CD $ và $ AD $ và $ BC $ là hai cạnh bên của hình thang), nên từ tỉ lệ trên, ta suy ra:
     $$
     ED = FC
     $$
   - Vậy, $ DE = CF $.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $ DE = CF $.