Phần $\rm 2)$. 2) Cho một đường tròn. Trên đường tròn đó lấy năm điểm A,B,C,D,E sao cho ABCDE là ngũ,giác đều. Nối các đỉnh của đa giác đó tạo thành hình ngôi sao năm cánh ( như hình vẽ).Gọi giao,điểm của BE với AC và AD lần lượt là I và K.,,Chứng minh rằng tỷ số $\frac{BI}{IK}$ bằng tỷ lệ vàng.

Question

Phần $\rm 2)$. 2) Cho một đường tròn. Trên đường tròn đó lấy năm điểm A,B,C,D,E sao cho ABCDE là ngũ,giác đều. Nối các đỉnh của đa giác đó tạo thành hình ngôi sao năm cánh ( như hình vẽ).Gọi giao,điểm của BE với AC và AD lần lượt là I và K.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/7d289a0f646d4423b69b2230a8c7350e.jpg />,Chứng minh rằng tỷ số $\frac{BI}{IK}$ bằng tỷ lệ vàng.

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng tỷ số $\frac{BI}{IK}$ bằng tỷ lệ vàng, ta thực hiện các bước sau:

1. Định nghĩa tỷ lệ vàng:
   - Tỷ lệ vàng $\phi$ được định nghĩa là $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

2. Tính chất của ngũ giác đều:
   - Trong ngũ giác đều, các đường chéo cắt nhau tại các điểm chia các đường chéo thành các đoạn có tỷ lệ vàng.

3. Xét ngũ giác đều $ABCDE$:
   - Do $ABCDE$ là ngũ giác đều, các đường chéo của nó sẽ chia nhau theo tỷ lệ vàng.

4. Xét tam giác $ABE$:
   - Trong tam giác $ABE$, các đường chéo $AC$ và $AD$ cắt nhau tại $K$, và $BE$ cắt $AC$ tại $I$.

5. Áp dụng tính chất của ngũ giác đều:
   - Do $ABCDE$ là ngũ giác đều, ta có:
     $$
     \frac{BI}{IE} = \frac{IK}{KA} = \phi
     $$
   - Từ đó, suy ra:
     $$
     \frac{BI}{IK} = \phi
     $$

6. Kết luận:
   - Tỷ số $\frac{BI}{IK}$ bằng tỷ lệ vàng $\phi$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $\frac{BI}{IK}$ bằng tỷ lệ vàng.