Câu $\rm 7$.

Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các yếu tố hình học cơ bản - Đáy ABCD là hình thang cân với \(AD \parallel BC\), \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). - Tam giác SAD vuông cân tại S, do đó \(SA = SD\). - \(SB = a\sqrt{3}\). Bước 2: Chứng minh \(BM \parallel (SCD)\) - Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), do đó \(SM = \frac{SA}{2}\). - Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\), do đó \(G\) chia các đường trung tuyến của tam giác \(SCD\) theo tỉ lệ \(2:1\). Để chứng minh \(BM \parallel (SCD)\), ta cần chứng minh rằng \(BM\) song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((SCD)\). - Xét tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(S\), ta có \(SA = SD\). - Do \(M\) là trung điểm của \(SA\), nên \(SM = \frac{SA}{2}\). - Trong tam giác \(SCD\), \(G\) là trọng tâm, do đó \(SG\) là đường trung tuyến và \(SG = \frac{2}{3}SD\). Vì \(M\) là trung điểm của \(SA\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\), nên \(BM\) song song với đường trung tuyến từ \(S\) đến \(CD\) trong tam giác \(SCD\). Do đó, \(BM \parallel (SCD)\). Bước 3: Tính tỉ số \(\frac{HB}{HG}\) - Gọi \(H\) là giao điểm của \(BG\) với mặt phẳng \((SAC)\). - Vì \(BM \parallel (SCD)\), nên \(H\) là điểm chia \(BG\) theo tỉ lệ \(2:1\) từ \(B\) đến \(G\). Do đó, tỉ số \(\frac{HB}{HG} = 2\). Kết luận: - Đã chứng minh được \(BM \parallel (SCD)\). - Tỉ số \(\frac{HB}{HG} = 2\).