Tìm tất cả hàm f: R → R thỏa mãn: f(x + y) + f(x − y) = 2f(x) + 2y².

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng tổng quát của hàm \( f \). 2. Thay vào phương trình đã cho để kiểm tra và tìm ra các hằng số. Bước 1: Giả sử \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Bước 2: Thay \( f(x) = ax^2 + bx + c \) vào phương trình \( f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2y^2 \): \[ f(x + y) = a(x + y)^2 + b(x + y) + c = ax^2 + 2axy + ay^2 + bx + by + c \] \[ f(x - y) = a(x - y)^2 + b(x - y) + c = ax^2 - 2axy + ay^2 + bx - by + c \] Cộng hai vế trên: \[ f(x + y) + f(x - y) = (ax^2 + 2axy + ay^2 + bx + by + c) + (ax^2 - 2axy + ay^2 + bx - by + c) \] \[ = 2ax^2 + 2ay^2 + 2bx + 2c \] Phương trình ban đầu yêu cầu: \[ f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2y^2 \] Thay \( f(x) = ax^2 + bx + c \) vào vế phải: \[ 2f(x) + 2y^2 = 2(ax^2 + bx + c) + 2y^2 = 2ax^2 + 2bx + 2c + 2y^2 \] So sánh hai vế: \[ 2ax^2 + 2ay^2 + 2bx + 2c = 2ax^2 + 2bx + 2c + 2y^2 \] Đồng nhất các hệ số tương ứng: - Hệ số của \( x^2 \): \( 2a = 2a \) (đúng) - Hệ số của \( y^2 \): \( 2a = 2 \) suy ra \( a = 1 \) - Hệ số của \( x \): \( 2b = 2b \) (đúng) - Hằng số: \( 2c = 2c \) (đúng) Vậy \( a = 1 \), \( b \) và \( c \) có thể là bất kỳ giá trị nào. Do đó, hàm \( f \) có dạng: \[ f(x) = x^2 + bx + c \] Kiểm tra lại với \( f(x) = x^2 + bx + c \): \[ f(x + y) = (x + y)^2 + b(x + y) + c = x^2 + 2xy + y^2 + bx + by + c \] \[ f(x - y) = (x - y)^2 + b(x - y) + c = x^2 - 2xy + y^2 + bx - by + c \] Cộng hai vế: \[ f(x + y) + f(x - y) = (x^2 + 2xy + y^2 + bx + by + c) + (x^2 - 2xy + y^2 + bx - by + c) \] \[ = 2x^2 + 2y^2 + 2bx + 2c \] Phương trình ban đầu yêu cầu: \[ 2f(x) + 2y^2 = 2(x^2 + bx + c) + 2y^2 = 2x^2 + 2bx + 2c + 2y^2 \] So sánh hai vế: \[ 2x^2 + 2y^2 + 2bx + 2c = 2x^2 + 2bx + 2c + 2y^2 \] Đồng nhất các hệ số tương ứng: - Hệ số của \( x^2 \): \( 2 = 2 \) (đúng) - Hệ số của \( y^2 \): \( 2 = 2 \) (đúng) - Hệ số của \( x \): \( 2b = 2b \) (đúng) - Hằng số: \( 2c = 2c \) (đúng) Vậy hàm \( f \) có dạng: \[ f(x) = x^2 + bx + c \] Kết luận: Tất cả các hàm \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình \( f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2y^2 \) là: \[ f(x) = x^2 + bx + c \] với \( b \) và \( c \) là các hằng số tùy ý.