Cho tập S = {1, 2, 3, …, 2n}. Chia S thành hai tập con có cùng số phần tử. Chứng minh rằng tích các phần tử của hai tập con này luôn chia hết cho (n!)².

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Bước 1: Kiểm tra tính đúng đắn của mệnh đề với trường hợp đơn giản nhất: - Với n = 1, ta có S = {1, 2}. - Chia S thành hai tập con: A = {1} và B = {2}. - Tích các phần tử của A là 1 và tích các phần tử của B là 2. - Ta thấy rằng tích các phần tử của hai tập con này chia hết cho (1!)² = 1. Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là nếu chia S = {1, 2, 3, ..., 2k} thành hai tập con có cùng số phần tử thì tích các phần tử của hai tập con này luôn chia hết cho (k!)². Bước 3: Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là nếu chia S = {1, 2, 3, ..., 2(k+1)} thành hai tập con có cùng số phần tử thì tích các phần tử của hai tập con này luôn chia hết cho ((k+1)!)². - Xét S = {1, 2, 3, ..., 2(k+1)}. - Chia S thành hai tập con A và B sao cho mỗi tập con có k+1 phần tử. - Gọi C là tập con chứa các phần tử lẻ của S và D là tập con chứa các phần tử chẵn của S. - Ta có C = {1, 3, 5, ..., 2k+1} và D = {2, 4, 6, ..., 2k+2}. - Chia C thành hai tập con C1 và C2 sao cho mỗi tập con có k+1 phần tử. - Chia D thành hai tập con D1 và D2 sao cho mỗi tập con có k+1 phần tử. - Ta có A = C1 ∪ D1 và B = C2 ∪ D2. - Tích các phần tử của A là tích các phần tử của C1 nhân với tích các phần tử của D1. - Tích các phần tử của B là tích các phần tử của C2 nhân với tích các phần tử của D2. - Vì C1 và C2 là hai tập con của C nên tích các phần tử của C1 và C2 đều chia hết cho (k+1)!. - Vì D1 và D2 là hai tập con của D nên tích các phần tử của D1 và D2 đều chia hết cho (k+1)!. - Do đó, tích các phần tử của A và B đều chia hết cho ((k+1)!)². Vậy mệnh đề đã được chứng minh.