Giải hộ mình câu 16 vs đc k

Bài 13: a) Chứng minh \(\Delta BHA \sim \Delta BAC\): - Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\): - \(\angle BHA = \angle BAC = 90^\circ\) (góc vuông). - \(\angle BAH\) chung. - Do đó, \(\Delta BHA \sim \Delta BAC\) theo trường hợp góc - góc (g-g). b) Chứng minh \(BH \cdot BC = BE \cdot BD\): - Xét \(\Delta BHC\) và \(\Delta BDE\): - \(\angle BHC = \angle BDE = 90^\circ\) (góc vuông). - \(\angle HBC = \angle EBD\) (góc chung). - Do đó, \(\Delta BHC \sim \Delta BDE\) theo trường hợp góc - góc (g-g). - Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{BH}{BE} = \frac{BC}{BD} \] - Suy ra: \[ BH \cdot BD = BE \cdot BC \] Vậy, đã chứng minh được \(BH \cdot BC = BE \cdot BD\). Bài 14: a) Chứng minh \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\): - Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\): - \(\angle HAC = \angle BAC\) (cùng là góc chung). - \(\angle HCA = \angle BCA\) (cùng là góc vuông). Vậy, \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\) theo trường hợp góc - góc (g-g). b) Chứng minh \(HA^2 = HB \cdot HC\): - Từ \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\), ta có: \[ \frac{HA}{AB} = \frac{AC}{BC} \] \[ \frac{HA}{AC} = \frac{HC}{BC} \] - Nhân hai đẳng thức trên: \[ \frac{HA^2}{AB \cdot AC} = \frac{AC \cdot HC}{BC^2} \] - Vì \(AB \cdot AC = BC \cdot HB\) (tính chất đường cao trong tam giác vuông), ta có: \[ HA^2 = HB \cdot HC \] c) Chứng minh \(CH \cdot CB = 4 \cdot DE^2\): - Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\), nên: \[ DE = \frac{1}{2} \cdot AC \] - Từ \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\), ta có: \[ \frac{CH}{CB} = \frac{HA}{AB} \] - Suy ra: \[ CH \cdot CB = HA \cdot AB \] - Vì \(DE = \frac{1}{2} \cdot AC\), nên: \[ DE^2 = \frac{1}{4} \cdot AC^2 \] - Do đó: \[ CH \cdot CB = 4 \cdot DE^2 \] d) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AH\): - Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(B\) và đường thẳng \(DE\). - Gọi \(N\) là giao điểm của \(AH\) và \(CM\). - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\), nên \(M\) cũng là trung điểm của \(DE\). - Do đó, \(N\) là trung điểm của \(AH\) vì \(CM\) là đường trung bình của \(\Delta AHC\). Vậy, \(N\) là trung điểm của \(AH\). Bài 15: a) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\): - Ta có \(\angle BAC = \angle BAH = 90^\circ\). - \(\angle ABC\) là góc chung của \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\). Vậy \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) theo trường hợp góc-góc (AA). b) Chứng minh \(AH \cdot CD = CE \cdot AD\): - Do \(CE \perp AD\), ta có \(\angle CED = 90^\circ\). - Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta CED\), ta có: - \(\angle AHD = \angle CED = 90^\circ\). - \(\angle HAD = \angle ECD\) (vì cùng phụ với \(\angle AHD\) và \(\angle CED\)). Vậy \(\Delta AHD \sim \Delta CED\) theo trường hợp góc-góc (AA). Từ đó suy ra: \(\frac{AH}{CE} = \frac{CD}{AD}\). Suy ra: \(AH \cdot CD = CE \cdot AD\). c) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta EDC\): - Ta có \(\angle BAC = \angle EDC = 90^\circ\). - \(\angle ABC = \angle ECD\) (vì \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) và \(\Delta AHD \sim \Delta CED\)). Vậy \(\Delta ABC \sim \Delta EDC\) theo trường hợp góc-góc (AA). d) Chứng minh \(KD\) là tia phân giác của \(\widehat{HKE}\): - Ta có \(\Delta AHD \sim \Delta CED\) nên \(\frac{AH}{CE} = \frac{HD}{ED}\). - Do \(AH\) cắt \(CE\) tại \(F\), ta có \(\Delta AHF \sim \Delta CEF\). Suy ra: \(\frac{AF}{CF} = \frac{AH}{CE}\). - Từ \(\Delta AHD \sim \Delta CED\), ta có \(\frac{HD}{ED} = \frac{AH}{CE}\). Vậy \(\frac{AF}{CF} = \frac{HD}{ED}\), suy ra \(KD\) là tia phân giác của \(\widehat{HKE}\). Bài 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) và \(AB^2 = BH \cdot BC\) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\): - Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\): - \(\angle BAC = \angle BAH = 90^\circ\) (vì \(AH\) là đường cao). - \(\angle ABC\) là góc chung của cả hai tam giác. Do đó, \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) theo trường hợp góc - góc (AA). Chứng minh \(AB^2 = BH \cdot BC\): - Từ \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\), ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: \[ \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AB} \] - Suy ra: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] b) Chứng minh \(\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM}\) - Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\): - \(\angle ABM = \angle ACM = 90^\circ\) (vì \(M\) và \(N\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\)). - \(\angle BAM = \angle CAM\) (góc chung). Do đó, \(\Delta ABM \sim \Delta ACM\) theo trường hợp góc - góc (AA). - Từ \(\Delta ABM \sim \Delta ACM\), ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{AM} \] - Bình phương hai vế: \[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM} \] c) Chứng minh \(S_{BIC} = S_{AMIN}\) - Gọi \(S_{XYZ}\) là diện tích của tam giác \(XYZ\). Chứng minh: - Xét \(\Delta BIC\) và \(\Delta AMIN\): - \(\Delta BIC\) và \(\Delta AMIN\) có chung đường cao từ \(I\) và \(N\) tương ứng đến \(BC\) và \(AM\). - Do đó, diện tích của hai tam giác này có thể được so sánh thông qua tỉ lệ các cạnh đáy. - Từ phần b, ta đã có: \[ \frac{BM}{AM} = \frac{AB^2}{AC^2} \] - Do đó, diện tích của hai tam giác là bằng nhau: \[ S_{BIC} = S_{AMIN} \] Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán. Bài 17: a) Chứng minh \(\frac{BH}{CE} = \frac{HG}{CD}\). Từ đó suy ra \(\frac{BH}{CE} = \frac{BG}{DE}\). - Xét hai tam giác \(\triangle BHG\) và \(\triangle CDE\): - Ta có \(BG\) song song với \(DE\) (do \(BG\) và \(DE\) là hai đường chéo của hình bình hành \(BCDE\)). - Góc \(\angle BHG = \angle CDE\) (so le trong). - Góc \(\angle BGH = \angle CED\) (so le trong). Do đó, \(\triangle BHG \sim \triangle CDE\) (góc - góc). - Từ đó, ta có: \[ \frac{BH}{CE} = \frac{HG}{CD} \] - Vì \(BG\) song song với \(DE\), nên \(\frac{HG}{CD} = \frac{BG}{DE}\). - Suy ra: \[ \frac{BH}{CE} = \frac{BG}{DE} \] b) Chứng minh \(BH \cdot DE = AB \cdot CD = BC \cdot AD\). - Từ \(\triangle BHG \sim \triangle CDE\), ta có: \[ \frac{BH}{CE} = \frac{BG}{DE} \] - Suy ra: \[ BH \cdot DE = BG \cdot CE \] - Do \(BG = AB\) và \(CE = CD\) (vì \(ABCD\) là hình vuông), ta có: \[ BH \cdot DE = AB \cdot CD \] - Vì \(AB = BC = CD = DA\), nên: \[ AB \cdot CD = BC \cdot AD \] c) Chứng minh \(\triangle BHC \sim \triangle DEA\). - Xét hai tam giác \(\triangle BHC\) và \(\triangle DEA\): - Ta có \(\angle BHC = \angle DEA\) (đối đỉnh). - \(\angle HBC = \angle EAD\) (vì \(ABCD\) là hình vuông, các góc đều bằng \(90^\circ\)). - Do đó, \(\triangle BHC \sim \triangle DEA\) (góc - góc). Bài 18: a) Chứng minh \(\Delta AMH \sim \Delta AHB\): - Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\): - \(\angle AMH = \angle AHB = 90^\circ\) (vì \(HM \perp AB\) và \(AH\) là đường cao). - \(\angle A\) là góc chung. Vậy, \(\Delta AMH \sim \Delta AHB\) theo trường hợp góc - góc (g-g). b) Chứng minh \(AN \cdot AC = AH^2\): - Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta AHC\): - \(\angle AHN = \angle AHC = 90^\circ\) (vì \(HN \perp AC\) và \(AH\) là đường cao). - \(\angle A\) là góc chung. Vậy, \(\Delta AHN \sim \Delta AHC\) theo trường hợp góc - góc (g-g). - Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{AN}{AH} = \frac{AH}{AC} \] - Suy ra: \[ AN \cdot AC = AH^2 \] c) Chứng minh \(\widehat{AEF} = \widehat{ABC}\): - Do \(DF \parallel MN\) và \(MN \perp AB\), suy ra \(DF \perp AB\). - Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\): - \(\angle AEF = \angle ABC\) (vì \(DF \parallel MN\) và \(\angle AEF\) là góc đồng vị với \(\angle ABC\)). Vậy, \(\widehat{AEF} = \widehat{ABC}\).