PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm) Hãy chọn chữ cái đứng trước đáp án đúng dưới đây và viết vào giấy thi. Câu 1. Một túi đựng các viên bi có cùng khối lượng và kích thước với 26 viên bi màu đ...

Câu 1: Tổng số viên bi trong túi là: 26 + 62 + 8 + 9 + 12 = 117 (viên bi) Số viên bi màu tím là: 62 (viên bi) Xác suất để lấy được viên bi màu tím là tỉ số giữa số viên bi màu tím và tổng số viên bi trong túi: \[ \frac{62}{117} \] Do đó, đáp án đúng là: A. \(\frac{62}{117}\) Câu 2: Để xác định tính chất nào không đúng của hình thoi, chúng ta cần xem xét từng tính chất đã cho: A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: Đây là một tính chất đúng của hình thoi. Trong hình thoi, hai đường chéo luôn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi: Đây cũng là một tính chất đúng. Trong hình thoi, hai đường chéo không chỉ cắt nhau tại trung điểm mà còn là các đường phân giác của các góc trong hình thoi. C. Hai đường chéo vuông góc với nhau: Đây là một tính chất đúng. Trong hình thoi, hai đường chéo luôn vuông góc với nhau. D. Hai đường chéo bằng nhau: Đây là tính chất không đúng của hình thoi. Trong hình thoi, hai đường chéo không nhất thiết phải bằng nhau. Chỉ trong trường hợp đặc biệt khi hình thoi là hình vuông thì hai đường chéo mới bằng nhau. Vì vậy, tính chất không đúng của hình thoi là: D. Hai đường chéo bằng nhau. Câu 3: Ta có: \(x^2 + y^2 - z^2 - 2xy\) \(= (x^2 - 2xy + y^2) - z^2\) \(= (x - y)^2 - z^2\) \(= (x - y - z)(x - y + z)\) Vậy đáp án đúng là C. \((x - y - z)(x - y + z)\) Câu 4: Để xác định đường thẳng nào song song với đường thẳng \( y = -2x + 5 \), ta cần nhớ rằng hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc. Đường thẳng đã cho là \( y = -2x + 5 \), có hệ số góc là \(-2\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án: A. \( y = 2x + 5 \): Hệ số góc là \(2\). Không bằng \(-2\), nên không song song. B. \( y = -2x + 1 \): Hệ số góc là \(-2\). Bằng \(-2\), nên song song. C. \( y = 2x + 1 \): Hệ số góc là \(2\). Không bằng \(-2\), nên không song song. D. \( y = -3x + 5 \): Hệ số góc là \(-3\). Không bằng \(-2\), nên không song song. Vậy, đường thẳng song song với đường thẳng \( y = -2x + 5 \) là đường thẳng \( y = -2x + 1 \). Đáp án đúng là B. Câu 5: Để xác định khi nào hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta cần xem xét các tính chất của hình chữ nhật. Một hình bình hành là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có một góc vuông. Điều này có thể được kiểm tra bằng cách xem xét các đường chéo của hình bình hành. Lập luận từng bước: 1. Tính chất của hình chữ nhật: - Hình chữ nhật là một hình bình hành có bốn góc vuông. - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 2. Xét các đáp án: - A. \(AB = BC\): Điều này không đúng vì nếu chỉ có hai cạnh kề bằng nhau, hình bình hành có thể là hình thoi hoặc hình vuông, nhưng không nhất thiết là hình chữ nhật. - B. \(AC \perp BD\): Nếu hai đường chéo vuông góc với nhau, hình bình hành có thể là hình thoi. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo hình bình hành là hình chữ nhật. - C. \(AC = BD\): Đây là điều kiện cần và đủ để hình bình hành là hình chữ nhật. Khi hai đường chéo của hình bình hành bằng nhau, hình bình hành đó là hình chữ nhật. - D. \(BC = CD\): Điều này không đúng vì nếu chỉ có hai cạnh đối bằng nhau, hình bình hành có thể là hình thoi hoặc hình vuông, nhưng không nhất thiết là hình chữ nhật. 3. Kết luận: - Đáp án đúng là C. \(AC = BD\). Khi hai đường chéo của hình bình hành bằng nhau, hình bình hành đó là hình chữ nhật. Câu 6: Phương trình $(m^2-9)x+3-m=0$ vô nghiệm khi hệ số của $x$ bằng 0 và hệ số tự do khác 0. Hệ số của $x$ là $m^2-9$. Để hệ số này bằng 0, ta có: $m^2-9=0$ $m^2=9$ $m=3$ hoặc $m=-3$ Hệ số tự do là $3-m$. Để hệ số tự do khác 0, ta có: $3-m \neq 0$ $m \neq 3$ Vậy phương trình $(m^2-9)x+3-m=0$ vô nghiệm khi $m=-3$. Đáp án đúng là: B. $m=-3$ Câu 7: Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của hình chóp. 1. Tính diện tích đáy: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông với độ dài cạnh là 6 cm. Diện tích của hình vuông được tính bằng công thức: \[ S_{\text{đáy}} = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \] 2. Chiều cao của hình chóp: Chiều cao của hình chóp đã được cho là 8 cm. 3. Tính thể tích của hình chóp: Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 8 = \frac{288}{3} = 96 \, \text{cm}^3 \] Vậy, thể tích của hình chóp là 96 cm³. Đáp án đúng là D. 96 cm³. Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác. Định lý này phát biểu rằng đường trung bình của một tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh và song song với cạnh thứ ba, đồng thời có độ dài bằng nửa độ dài của cạnh thứ ba. Trong tam giác \( \triangle ABC \), M và N lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( AC \). Do đó, \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( \triangle ABC \). Theo định lý đường trung bình, ta có: 1. \( MN \parallel BC \) 2. \( MN = \frac{1}{2} BC \) Bài toán cho biết \( MN = 3 \, \text{cm} \). Do đó, ta có phương trình: \[ MN = \frac{1}{2} BC = 3 \] Từ đó, ta suy ra: \[ BC = 2 \times MN = 2 \times 3 = 6 \, \text{cm} \] Vậy độ dài cạnh \( BC \) là \( 6 \, \text{cm} \). Đáp án đúng là: A. \( 6 \, \text{cm} \). Bài 1: a) Rút gọn biểu thức P P = $\left(\frac{15-x}{x^2-25}+\frac{2}{x+5}\right):\frac{x+1}{2x^2-10x}$ Ta có: $x^2-25=(x-5)(x+5)$ Do đó, ta có thể viết lại biểu thức P như sau: P = $\left(\frac{15-x}{(x-5)(x+5)}+\frac{2}{x+5}\right):\frac{x+1}{2x(x-5)}$ Tiếp theo, ta sẽ quy đồng mẫu số của các phân thức trong ngoặc đơn: P = $\left(\frac{15-x+2(x-5)}{(x-5)(x+5)}\right):\frac{x+1}{2x(x-5)}$ P = $\left(\frac{15-x+2x-10}{(x-5)(x+5)}\right):\frac{x+1}{2x(x-5)}$ P = $\left(\frac{x+5}{(x-5)(x+5)}\right):\frac{x+1}{2x(x-5)}$ Rút gọn phân thức trong ngoặc đơn: P = $\left(\frac{1}{x-5}\right):\frac{x+1}{2x(x-5)}$ Bây giờ, ta sẽ thực hiện phép chia phân thức: P = $\frac{1}{x-5} \cdot \frac{2x(x-5)}{x+1}$ P = $\frac{2x}{x+1}$ b) Tính giá trị của P tại x = 1 Thay x = 1 vào biểu thức P đã rút gọn: P = $\frac{2 \cdot 1}{1+1}$ P = $\frac{2}{2}$ P = 1 Vậy giá trị của P tại x = 1 là 1. Bài 2: Để giải phương trình \(\frac{3x-1}{3} - \frac{5-3x}{2} = \frac{x+7}{4}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân số trong phương trình. Mẫu số chung của 3, 2 và 4 là 12. Ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với 12 để loại bỏ mẫu số. \[12 \left( \frac{3x-1}{3} - \frac{5-3x}{2} \right) = 12 \left( \frac{x+7}{4} \right)\] Bước 2: Nhân vào trong ngoặc và rút gọn. \[12 \cdot \frac{3x-1}{3} - 12 \cdot \frac{5-3x}{2} = 12 \cdot \frac{x+7}{4}\] \[4(3x-1) - 6(5-3x) = 3(x+7)\] Bước 3: Khai triển các biểu thức trong ngoặc. \[4 \cdot 3x - 4 \cdot 1 - 6 \cdot 5 + 6 \cdot 3x = 3 \cdot x + 3 \cdot 7\] \[12x - 4 - 30 + 18x = 3x + 21\] Bước 4: Kết hợp các hạng tử chứa \(x\) và các hạng tử tự do. \[12x + 18x - 4 - 30 = 3x + 21\] \[30x - 34 = 3x + 21\] Bước 5: Chuyển các hạng tử chứa \(x\) sang một vế và các hạng tử tự do sang vế kia. \[30x - 3x = 21 + 34\] \[27x = 55\] Bước 6: Giải phương trình để tìm \(x\). \[x = \frac{55}{27}\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{55}{27}\). Bài 3: Gọi số sản phẩm tổ thứ nhất dự định làm là x (sản phẩm, điều kiện: x > 0). Số sản phẩm tổ thứ hai dự định làm là 900 - x (sản phẩm). Thực tế, tổ thứ nhất làm được số sản phẩm là 115% của x, tức là 1,15x (sản phẩm). Thực tế, tổ thứ hai làm được số sản phẩm là 110% của (900 - x), tức là 1,1(900 - x) (sản phẩm). Theo đề bài, tổng số sản phẩm thực tế làm được là 900 + 110 = 1010 (sản phẩm). Ta có phương trình: 1,15x + 1,1(900 - x) = 1010 Nhân cả hai vế của phương trình với 100 để dễ tính toán: 115x + 110(900 - x) = 101000 Phân phối và rút gọn: 115x + 99000 - 110x = 101000 Gộp các hạng tử chứa x: 5x + 99000 = 101000 Chuyển 99000 sang vế phải: 5x = 101000 - 99000 Tính toán: 5x = 2000 Chia cả hai vế cho 5: x = 400 Vậy số sản phẩm tổ thứ nhất dự định làm là 400 sản phẩm. Số sản phẩm tổ thứ hai dự định làm là 900 - 400 = 500 sản phẩm. Thực tế, tổ thứ nhất làm được số sản phẩm là 1,15 × 400 = 460 sản phẩm. Thực tế, tổ thứ hai làm được số sản phẩm là 1,1 × 500 = 550 sản phẩm. Đáp số: Tổ thứ nhất làm được 460 sản phẩm, tổ thứ hai làm được 550 sản phẩm. Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \) Tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] Để chứng minh điều này, ta cần tính \( BC \) trước. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \): \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{cm} \] Vì \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý đường cao, ta có: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] Vậy ta đã chứng minh được \( AB^2 = BH \cdot BC \). b) Kẻ đường phân giác \( CD \) của tam giác \( \Delta ABC \) ( \( D \in AB \) ). Tính độ dài \( AD \). Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \] Gọi \( AD = x \), khi đó \( DB = AB - x = 18 - x \). Áp dụng tính chất đường phân giác: \[ \frac{x}{18 - x} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} \] Giải phương trình: \[ 5x = 4(18 - x) \] \[ 5x = 72 - 4x \] \[ 9x = 72 \] \[ x = 8 \] Vậy độ dài \( AD = 8 \, \text{cm} \). c) Từ \( B \) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \( CD \) tại \( E \) và cắt đường thẳng \( AH \) tại \( F \). Trên đoạn thẳng \( CD \) lấy \( G \) sao cho \( BA = BG \). Chứng minh \( BG \perp FG \). Vì \( BA = BG \), nên \( G \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \). Do \( BE \perp CD \), nên \( BE \) là đường cao của tam giác \( \Delta BCD \). Vì \( G \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \), nên \( BG = BA \). Do đó, \( BG \) là đường trung trực của đoạn \( AF \). Vì \( F \) nằm trên đường thẳng \( AH \) và \( AH \perp BC \), nên \( F \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( A \). Vì \( BG \) là đường trung trực của \( AF \), nên \( BG \perp FG \). Vậy ta đã chứng minh được \( BG \perp FG \). Bài 5: Ta có \(A = xy + 2yz + 3zx\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(xy\) và \(2yz\): \(xy + 2yz \leq \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{2(y^2 + z^2)}{2}\) Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(2yz\) và \(3zx\): \(2yz + 3zx \leq \frac{2(y^2 + z^2)}{2} + \frac{3(z^2 + x^2)}{2}\) Cộng lại ta có: \(A \leq \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{2(y^2 + z^2)}{2} + \frac{2(y^2 + z^2)}{2} + \frac{3(z^2 + x^2)}{2}\) \(A \leq \frac{x^2 + y^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2y^2 + 2z^2 + 3z^2 + 3x^2}{2}\) \(A \leq \frac{4x^2 + 5y^2 + 7z^2}{2}\) Mặt khác, ta có \(x + y + z = 6\) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \((x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (x + y + z)^2\) \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x + y + z)^2}{3}\) \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{36}{3}\) \(x^2 + y^2 + z^2 \geq 12\) Do đó, \(A \leq \frac{4x^2 + 5y^2 + 7z^2}{2} \leq \frac{4(x^2 + y^2 + z^2) + 3(x^2 + y^2 + z^2)}{2} = \frac{7(x^2 + y^2 + z^2)}{2} \leq \frac{7 \cdot 12}{2} = 42\) Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 42, đạt được khi \(x = y = z = 2\).