Giúp mình với!

Bài 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Phần a: Tính $\widehat C$ và chứng minh $\Delta BEA = \Delta BED$ 1. Tính $\widehat C$: Trong tam giác vuông $AABC$ vuông tại $A$, tổng ba góc của tam giác là $180^\circ$. Do đó, ta có: \[ \widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] Vì tam giác vuông tại $A$, nên $\widehat A = 90^\circ$. Biết $\widehat B = 53^\circ$, ta có: \[ 90^\circ + 53^\circ + \widehat C = 180^\circ \] \[ \widehat C = 180^\circ - 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \] 2. Chứng minh $\Delta BEA = \Delta BED$: - Ta có $BD = BA$ (theo giả thiết). - Tia phân giác $\widehat B$ cắt $AC$ tại $E$, do đó $\widehat ABE = \widehat DBE$. - Cạnh $BE$ là cạnh chung của hai tam giác $\Delta BEA$ và $\Delta BED$. Từ ba điều kiện trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có: \[ \Delta BEA = \Delta BED \] Phần b: Chứng minh $BF = CF$ 1. Chứng minh $BF = CF$: - Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BE$ tại $H$, $CH$ cắt $AB$ tại $F$. - Do $CH \perp BE$, nên $\widehat CHF = 90^\circ$. - Trong tam giác vuông $CHF$, $CH$ là đường cao, do đó $CH$ cũng là đường trung tuyến, suy ra $BF = CF$. Phần c: Chứng minh $\Delta BAC = \Delta BDF$ và $D, E, F$ thẳng hàng 1. Chứng minh $\Delta BAC = \Delta BDF$: - Ta có $BA = BD$ (theo giả thiết). - Đã chứng minh $BF = CF$ và $F$ nằm trên $AB$. - $\widehat BAC = \widehat BDF$ vì $F$ là điểm đối xứng của $C$ qua $BE$. Từ ba điều kiện trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có: \[ \Delta BAC = \Delta BDF \] 2. Chứng minh $D, E, F$ thẳng hàng: - Đã chứng minh $\Delta BEA = \Delta BED$, do đó $E$ là trung điểm của $AD$. - $F$ là điểm đối xứng của $C$ qua $BE$, nên $F$ nằm trên đường thẳng $DE$. Từ đó, ta có $D, E, F$ thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu của bài toán. Bài 21: a) Chứng minh \(\Delta ABE = \Delta MBE\) - Ta có \(BA = BM\) (giả thiết). - \(BE\) là cạnh chung của hai tam giác \(\Delta ABE\) và \(\Delta MBE\). - \(E\) là trung điểm của \(AM\) nên \(AE = EM\). Vậy, \(\Delta ABE = \Delta MBE\) theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). b) Chứng minh \(KM \bot BC\) - Ta có \(\Delta ABE = \Delta MBE\) nên \(\widehat{AEB} = \widehat{MEB}\). - Do \(E\) là trung điểm của \(AM\), nên \(BE\) là đường trung trực của \(AM\). - \(BE\) cắt \(AC\) tại \(K\), nên \(K\) là điểm nằm trên đường trung trực của \(AM\). Vì vậy, \(KM \bot BC\). c) Chứng minh \(\widehat{ABK} = \widehat{QMC}\) - Qua \(M\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(BK\) tại \(F\). - Do \(MF \parallel AC\), nên \(\widehat{MFB} = \widehat{ACB}\). - Trên đoạn \(KC\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(KQ = MF\). Ta có: - \(\widehat{ABK} = \widehat{MFB}\) (do \(MF \parallel AC\)). - \(\widehat{MFB} = \widehat{QMC}\) (do \(KQ = MF\)). Vậy, \(\widehat{ABK} = \widehat{QMC}\). Bài 22: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính \(\widehat{ACB}\) Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), nên \(\widehat{BAC} = 90^\circ\). Vì \(\widehat{ABC} = 60^\circ\), ta có: \[ \widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \] Vậy \(\widehat{ACB} = 30^\circ\). b) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta KBH\) và suy ra \(AK \bot BI\) - Ta có \(AB = BK\) (do \(K\) là điểm trên \(BC\) sao cho \(AB = BK\)). - \(H\) là trung điểm của \(AK\), nên \(AH = HK\). Xét hai tam giác \(\triangle ABH\) và \(\triangle KBH\): - \(AB = BK\) (giả thiết) - \(AH = HK\) (do \(H\) là trung điểm của \(AK\)) - \(BH\) là cạnh chung Do đó, \(\triangle ABH = \triangle KBH\) (cạnh-cạnh-cạnh). Vì \(\triangle ABH = \triangle KBH\), nên \(\widehat{AHB} = \widehat{KHB}\). Do đó, \(AK \bot BI\) vì \(H\) là trung điểm của \(AK\) và \(BI\) là đường trung trực của \(AK\). c) Chứng minh \(KA\) là tia phân giác \(\widehat{NKD}\) - Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(BH\) tại \(N\) và cắt \(AB\) tại \(D\). Vì \(KN \parallel AC\) và \(KD \parallel AB\), nên \(\widehat{NKD} = \widehat{BAC}\). Do \(KA\) là đường trung trực của \(NK\) và \(KD\), nên \(KA\) là tia phân giác của \(\widehat{NKD}\). Vậy \(KA\) là tia phân giác của \(\widehat{NKD}\). Bài 23: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Chứng minh \(CN \perp AC\) và \(CN = AB\): 1. Chứng minh \(CN \perp AC\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(BN\), nên \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CN\). - Do đó, \(CN\) là đường trung trực của \(AC\), nên \(CN \perp AC\). 2. Chứng minh \(CN = AB\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(BN\), ta có \(AM = MC\) và \(BM = MN\). - Do đó, tam giác \(ABM\) và tam giác \(CMN\) là hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau. - Suy ra, \(CN = AB\). b) Chứng minh \(AN = BC\) và \(AN \parallel BC\): 1. Chứng minh \(AN = BC\): - Từ phần a), ta đã có \(CN = AB\). - Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(BN\), nên \(AN = 2 \times AM = 2 \times MC = BC\). 2. Chứng minh \(AN \parallel BC\): - Vì \(CN \perp AC\) và \(CN\) là đường trung trực của \(AC\), nên \(AN\) và \(BC\) cùng song song với \(CN\). - Do đó, \(AN \parallel BC\). Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 24: Để giải bài toán này, ta sẽ lập luận từng bước như sau: a) Chứng minh \(\Delta AED = \Delta CEF\): - Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AD = DB\) và \(AE = EC\). - \(E\) là trung điểm của \(DF\), nên \(DE = EF\). - Xét hai tam giác \(\Delta AED\) và \(\Delta CEF\): - \(AE = EC\) (giả thiết) - \(DE = EF\) (giả thiết) - \(\angle AED = \angle CEF\) (đối đỉnh) - Do đó, \(\Delta AED = \Delta CEF\) (cạnh - góc - cạnh). b) Chứng minh \(DB = CF\): - Từ phần a, ta có \(\Delta AED = \Delta CEF\), nên \(ED = EF\). - Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AD = DB\). - Từ \(\Delta AED = \Delta CEF\), ta có \(AD = CF\). - Do đó, \(DB = CF\). c) Chứng minh \(\Delta BDC = \Delta FCD\): - Ta có \(DB = CF\) (chứng minh ở phần b). - \(DC\) là cạnh chung. - \(\angle BDC = \angle FCD\) (đối đỉnh). - Do đó, \(\Delta BDC = \Delta FCD\) (cạnh - góc - cạnh). Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 25: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình học về trung điểm và đối xứng. 1. Xác định trung điểm: - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AM = MC \). - Gọi \( N \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AN = NB \). 2. Xác định điểm \( D \) và \( E \): - Trên tia đối của tia \( MB \), lấy điểm \( D \) sao cho \( MD = MB \). Điều này có nghĩa là \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( M \). - Trên tia đối của tia \( NC \), lấy điểm \( E \) sao cho \( NE = NC \). Điều này có nghĩa là \( E \) là điểm đối xứng của \( C \) qua \( N \). 3. Chứng minh các tính chất: - Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( MD = MB \), nên tam giác \( MBD \) là tam giác cân tại \( M \). - Tương tự, vì \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( NE = NC \), nên tam giác \( NEC \) là tam giác cân tại \( N \). 4. Kết luận: - Do \( D \) và \( E \) là các điểm đối xứng của \( B \) và \( C \) qua các trung điểm \( M \) và \( N \) tương ứng, nên các đoạn thẳng \( MD \) và \( NE \) có độ dài bằng các đoạn thẳng \( MB \) và \( NC \). Bài toán này yêu cầu chúng ta xác định vị trí của các điểm \( D \) và \( E \) dựa trên tính chất đối xứng qua trung điểm, và từ đó suy ra các tính chất hình học liên quan.