giup minh voi a

Câu 30: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) Biểu thức \( B \) có dạng: \[ B = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} \] Ta sẽ biến đổi từng phần của biểu thức trên. 1. Biến đổi \( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} \): \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)^2 (\sqrt{x} + 1)} \] 2. Biến đổi \( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} \): \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] 3. Kết hợp hai phần trên: \[ B = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)^2 (\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} \] 4. Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \) và \( 1 - x = 1 - t^2 \): \[ B = \left( \frac{t - 2}{(t - 1)^2 (t + 1)} - \frac{t + 2}{(t + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - t^2)^2}{2} \] 5. Rút gọn biểu thức: \[ B = \left( \frac{t - 2}{(t - 1)^2 (t + 1)} - \frac{t + 2}{(t + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - t^2)^2}{2} \] 6. Tìm giá trị lớn nhất của \( B \): \[ B = \left( \frac{t - 2}{(t - 1)^2 (t + 1)} - \frac{t + 2}{(t + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - t^2)^2}{2} \] 7. Xét các trường hợp cụ thể để tìm giá trị lớn nhất: - Khi \( t = 0 \): \[ B = \left( \frac{0 - 2}{(0 - 1)^2 (0 + 1)} - \frac{0 + 2}{(0 + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - 0^2)^2}{2} \] \[ = \left( \frac{-2}{1 \cdot 1} - \frac{2}{1} \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = (-2 - 2) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -2 \] - Khi \( t = 1 \): \[ B = \left( \frac{1 - 2}{(1 - 1)^2 (1 + 1)} - \frac{1 + 2}{(1 + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - 1^2)^2}{2} \] \[ = \left( \frac{-1}{0 \cdot 2} - \frac{3}{4} \right) \cdot \frac{0}{2} \] \[ = \text{không xác định} \] - Khi \( t = 2 \): \[ B = \left( \frac{2 - 2}{(2 - 1)^2 (2 + 1)} - \frac{2 + 2}{(2 + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - 2^2)^2}{2} \] \[ = \left( \frac{0}{1 \cdot 3} - \frac{4}{9} \right) \cdot \frac{(-3)^2}{2} \] \[ = \left( 0 - \frac{4}{9} \right) \cdot \frac{9}{2} \] \[ = -\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} \] \[ = -2 \] Từ các trường hợp trên, ta thấy giá trị lớn nhất của \( B \) là 2, đạt được khi \( x = 0 \). Giá trị lớn nhất của \( B \) là 2, đạt được khi \( x = 0 \).