Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.

Để chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý "hộp bồ câu"). Bước 1: Xác định số lượng đỉnh và màu sắc Đa giác đều có 2023 đỉnh, và mỗi đỉnh được sơn bằng một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Bước 2: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Theo nguyên lý Dirichlet, nếu có nhiều đối tượng hơn số lượng hộp, thì ít nhất một hộp phải chứa nhiều hơn một đối tượng. Ở đây, chúng ta có 2023 đỉnh và chỉ có 2 màu, do đó ít nhất một màu sẽ được sử dụng cho ít nhất $\lceil \frac{2023}{2} \rceil = 1012$ đỉnh. Bước 3: Xét các tam giác cân Xét một đỉnh bất kỳ của đa giác, gọi đỉnh này là \(A\). Vì đa giác đều, nên khoảng cách từ \(A\) đến các đỉnh khác là như nhau theo từng bước. Cụ thể, nếu ta xét các đỉnh cách \(A\) một khoảng cố định, thì các đỉnh này sẽ tạo thành các tam giác cân với đỉnh \(A\). Ví dụ, xét các đỉnh cách \(A\) một khoảng cố định là 1, 2, ..., 1011. Mỗi khoảng cách này sẽ tạo ra một cặp đỉnh đối xứng qua \(A\), và do đó tạo thành một tam giác cân với đỉnh \(A\). Bước 4: Chứng minh tồn tại tam giác cân cùng màu Vì có 1012 đỉnh được sơn cùng một màu, và chỉ có 1011 khoảng cách khác nhau từ một đỉnh đến các đỉnh khác, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một khoảng cách sẽ có cả hai đỉnh cùng màu với đỉnh \(A\). Điều này có nghĩa là tồn tại một tam giác cân mà cả ba đỉnh đều được sơn cùng một màu. Kết luận Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân trong đa giác đều 2023 cạnh.