Cho tam giác ABC,M là điểm di chuyển trên đoạn BC.Từ M kẻ MD song song với AC,ME song song với AB (D thuộc AB; E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ADME lớn nhất.

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm vị trí của điểm M trên đoạn BC sao cho diện tích tứ giác ADME là lớn nhất. Bước 1: Phân tích bài toán - Tam giác ABC là tam giác cố định. - M là điểm di chuyển trên đoạn BC. - MD song song với AC, ME song song với AB, do đó tứ giác ADME là hình thang. Bước 2: Tính diện tích tứ giác ADME Diện tích của tứ giác ADME có thể được tính bằng cách lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích của hai tam giác BMD và CEM. Giả sử diện tích tam giác ABC là \( S \). - Diện tích tam giác BMD: Vì MD song song với AC, nên tam giác BMD đồng dạng với tam giác BAC. Tỉ số diện tích của hai tam giác này bằng bình phương tỉ số hai cạnh tương ứng. Gọi \( BM = x \) và \( BC = a \), ta có: \[ \text{Diện tích tam giác BMD} = \left(\frac{x}{a}\right)^2 \times S \] - Diện tích tam giác CEM: Tương tự, vì ME song song với AB, tam giác CEM đồng dạng với tam giác CAB. Gọi \( MC = a - x \), ta có: \[ \text{Diện tích tam giác CEM} = \left(\frac{a-x}{a}\right)^2 \times S \] Bước 3: Tính diện tích tứ giác ADME Diện tích tứ giác ADME là: \[ S_{ADME} = S - \left(\frac{x}{a}\right)^2 \times S - \left(\frac{a-x}{a}\right)^2 \times S \] Rút gọn biểu thức: \[ S_{ADME} = S \left(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{(a-x)^2}{a^2}\right) \] \[ = S \left(1 - \frac{x^2 + (a^2 - 2ax + x^2)}{a^2}\right) \] \[ = S \left(1 - \frac{2x^2 - 2ax + a^2}{a^2}\right) \] \[ = S \left(\frac{a^2 - 2x^2 + 2ax - a^2}{a^2}\right) \] \[ = S \left(\frac{2ax - 2x^2}{a^2}\right) \] \[ = \frac{2Sx(a-x)}{a^2} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích Biểu thức diện tích \( S_{ADME} = \frac{2Sx(a-x)}{a^2} \) là một hàm bậc hai theo \( x \) có dạng \( ax(b-x) \), đạt giá trị lớn nhất khi \( x = \frac{a}{2} \). Kết luận Vị trí của M để diện tích tứ giác ADME lớn nhất là khi M nằm ở trung điểm của đoạn BC. Khi đó, diện tích tứ giác ADME đạt giá trị lớn nhất.