giúp mình với a

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã cho. Sau đó, chúng ta sẽ giải quyết bài toán liên quan đến nồng độ dung dịch KOH. Bài 1.21 a) Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) 1. Tập xác định: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \). 3. Tìm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \) ta có: \[ -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Tính \( y \) tại các điểm này: - \( x = 1 \), \( y = -1 + 3 + 1 = 3 \). - \( x = -1 \), \( y = 1 - 3 + 1 = -1 \). 4. Bảng biến thiên: - \( y' > 0 \) khi \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \). - \( y' < 0 \) khi \( x \in (-1, 1) \). 5. Đồ thị: Đồ thị có điểm cực đại tại \( (1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (-1, -1) \). b) Hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - x - 1 \) 1. Tập xác định: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Đạo hàm: \( y' = 3x^2 + 6x - 1 \). 3. Tìm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \) ta có: \[ 3x^2 + 6x - 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm bậc hai: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \] 4. Bảng biến thiên: Tính giá trị \( y \) tại các điểm cực trị và xét dấu của \( y' \). 5. Đồ thị: Đồ thị có các điểm cực trị tại các nghiệm của phương trình \( y' = 0 \). Bài 1.22 a) Hàm số \( y = \frac{2x+1}{x+1} \) 1. Tập xác định: \( x \neq -1 \). 2. Đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x+1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \] 3. Bảng biến thiên: \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \). 4. Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \) và tiệm cận ngang \( y = 2 \). b) Hàm số \( y = \frac{x+3}{1-x} \) 1. Tập xác định: \( x \neq 1 \). 2. Đạo hàm: \[ y' = \frac{(1)(1-x) - (x+3)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + x + 3}{(1-x)^2} = \frac{4}{(1-x)^2} \] 3. Bảng biến thiên: \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). 4. Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và tiệm cận ngang \( y = -1 \). Bài 1.23 a) Hàm số \( y = \frac{2x^2-x+4}{x-1} \) 1. Tập xác định: \( x \neq 1 \). 2. Đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức. 3. Bảng biến thiên: Xét dấu của \( y' \). 4. Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). b) Hàm số \( y = \frac{x^2+2x+1}{x+3} \) 1. Tập xác định: \( x \neq -3 \). 2. Đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức. 3. Bảng biến thiên: Xét dấu của \( y' \). 4. Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = -3 \). Bài 1.24 a) Tính nồng độ \( C(x) \) 1. Khối lượng KOH ban đầu: \( 30 \times 100 = 3000 \) mg. 2. Khối lượng KOH thêm vào: \( 8x \) mg. 3. Tổng khối lượng KOH: \( 3000 + 8x \) mg. 4. Thể tích dung dịch sau khi trộn: \( 30 + x \) ml. 5. Nồng độ \( C(x) \): \[ C(x) = \frac{3000 + 8x}{30 + x} \] b) Khảo sát sự biến thiên của \( C(x) \) 1. Tập xác định: \( x \geq 0 \). 2. Đạo hàm: \[ C'(x) = \frac{(8)(30+x) - (3000+8x)(1)}{(30+x)^2} = \frac{240 + 8x - 3000 - 8x}{(30+x)^2} = \frac{-2760}{(30+x)^2} \] \( C'(x) < 0 \) với mọi \( x \geq 0 \). 3. Bảng biến thiên: \( C(x) \) giảm dần. 4. Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận ngang \( y = 8 \). c) Giải thích Nồng độ KOH giảm dần vì khi thêm dung dịch có nồng độ thấp hơn, nồng độ trung bình sẽ giảm. Tuy nhiên, nồng độ luôn lớn hơn 8 mg/ml vì ban đầu nồng độ là 100 mg/ml, và dung dịch thêm vào chỉ làm giảm nồng độ nhưng không thể thấp hơn nồng độ của dung dịch thêm vào.