Cho hàm số y = f(x) = $\left(3m^2-7m+5\right)x-2011$ (*). Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m.

Hàm số y = f(x) = $(3m^{2}-7m+5)x-2011$ luôn đồng biến trên R khi hệ số góc của nó dương, tức là $3m^{2}-7m+5>0$. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với mọi m. Xét biểu thức $3m^{2}-7m+5$. Đây là một tam thức bậc hai với hệ số a = 3 > 0, do đó đồ thị của nó là một parabol mở lên. Để chứng minh rằng $3m^{2}-7m+5>0$ với mọi m, ta cần kiểm tra xem tam thức này có nghiệm thực hay không. Tìm nghiệm của tam thức $3m^{2}-7m+5$: Phương trình $3m^{2}-7m+5=0$ có biệt thức $\Delta = (-7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = -11 < 0$. Vì biệt thức $\Delta < 0$, nên phương trình $3m^{2}-7m+5=0$ không có nghiệm thực. Do đó, tam thức $3m^{2}-7m+5$ luôn giữ nguyên dấu với mọi m. Vì hệ số a = 3 > 0, nên $3m^{2}-7m+5 > 0$ với mọi m. Vậy hàm số y = f(x) = $(3m^{2}-7m+5)x-2011$ luôn đồng biến trên R với mọi m.