Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh AG chia đôi MN.

Để chứng minh rằng \( AG \) chia đôi \( MN \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm trung điểm và trọng tâm: - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( M \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ \( A \) và \( B \). - Gọi \( N \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( N \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ \( C \) và \( D \). - Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( BCD \), do đó \( G \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ \( B \), \( C \), và \( D \). 2. Tính tọa độ của các điểm: Giả sử tọa độ của các điểm là: - \( A(x_1, y_1) \) - \( B(x_2, y_2) \) - \( C(x_3, y_3) \) - \( D(x_4, y_4) \) Khi đó: - Tọa độ của \( M \) là \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \). - Tọa độ của \( N \) là \( \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) \). - Tọa độ của \( G \) là \( \left( \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3} \right) \). 3. Chứng minh \( AG \) chia đôi \( MN \): Ta cần chứng minh rằng điểm \( P \) nằm trên \( AG \) và là trung điểm của \( MN \). - Giả sử \( P \) có tọa độ là \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} \right) \). - Tọa độ của \( P \) là trung bình cộng của tọa độ \( M \) và \( N \): \[ \left( \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1 + y_2}{2} + \frac{y_3 + y_4}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} \right) \] - Tọa độ của \( P \) cũng nằm trên đường thẳng \( AG \) vì: \[ P = \left( \frac{x_1 + 3 \cdot \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}}{4}, \frac{y_1 + 3 \cdot \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3}}{4} \right) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} \right) \] Do đó, \( AG \) chia đôi \( MN \) tại điểm \( P \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AG \) chia đôi \( MN \).